數(shù)學看似嚴肅、枯燥，尤其在課堂教學中不如語文課堂生動、豐富，不如語文課富有感情色彩。但如果用心上好一節(jié)數(shù)學課，仍會讓你收獲到意想不到的快樂。下面是小編給大家整理的證明勾股定理的教案過程5篇，希望大家能有所收獲!

證明勾股定理的教案過程1

教學目標

1.在探索平行四邊形的判別條件中，理解并掌握用邊、對角線來判定平行四邊形的方法.

2.會綜合運用平行四邊形的判定方法和性質(zhì)來解決問題

教學重點：平行四邊形的判定方法及應(yīng)用

教學難點：平行四邊形的判定定理與性質(zhì)定理的靈活應(yīng)用

引

小明的父親手中有一些木條，他想通過適當?shù)臏y量、割剪，釘制一個平行四邊形框架，你能幫他想出一些辦法來嗎?

二.探

閱讀教材P44至P45

利用手中的學具——硬紙板條，通過觀察、測量、猜想、驗證、探索構(gòu)成平行四邊形的條件，思考并探討：

(1)你能適當選擇手中的硬紙板條搭建一個平行四邊形嗎?

(2)你怎樣驗證你搭建的四邊形一定是平行四邊形?

(3)你能說出你的做法及其道理嗎?

(4)能否將你的探索結(jié)論作為平行四邊形的一種判別方法?你能用文字語言表述出來嗎?

(5)你還能找出其他方法嗎?

從探究中得到：

平行四邊形判定方法1 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

平行四邊形判定方法2 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

證一證

平行四邊形判定方法1 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

證明：(畫出圖形)

平行四邊形判定方法2 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

證明：(畫出圖形)

三.結(jié)

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

四.用

【例題】

例、已知：如圖所示，在ABCD中，E、F分別為AB、CD的中點，求證四邊形AECF是平行四邊形.

【練習】

1、已知：四邊形ABCD中，AD∥BC，要使四邊形ABCD為平行四邊形，

需要增加條件 .(只需填上一個你認為正確的即可).

2、如圖所示，在ABCD中，E,F分別是對角線BD上的兩點，

且BE=DF，要證明四邊形AECF是平行四邊形，最簡單的方法

是根據(jù) 來證明.

作業(yè)P46練習1、2題

板書設(shè)計

平行四邊形的性質(zhì)

證明勾股定理的教案過程2

教學目標

1.知識與技能目標：會用勾股定理及直角三角形的判定條件解決實際問題,逐步培養(yǎng)“數(shù)形結(jié)合”和“轉(zhuǎn)化”數(shù)學能力。

2.過程與方法目標：發(fā)展學生的分析問題能力和表達能力。經(jīng)歷勾股定理的應(yīng)用過程，熟練掌握其應(yīng)用方法，明確應(yīng)用的條件。

3.情感態(tài)度與價值觀目標：通過自主學習的發(fā)展體驗獲取數(shù)學知識的感受;通過有關(guān)勾股定理的歷史講解，對學生進行德育教育

教學重點

1、重點：勾股定理及其逆定理的應(yīng)用

2、難點：勾股定理及其逆定理的應(yīng)用

一、基礎(chǔ)知識梳理

在本章中，我們探索了直角三角形的三邊關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上得到了勾股定理，并學習了如何利用拼圖驗證勾股定理，介紹了勾股定理的用途;本章后半部分學習了勾股定理的逆定是以及它的應(yīng)用.其知識結(jié)構(gòu)如下：

1.勾股定理：

直角三角形兩直角邊的______和等于_______的平方.就是說，對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有：————————————.這就是勾股定理.

勾股定理揭示了直角三角形___之間的數(shù)量關(guān)系，是解決有關(guān)線段計算問題的重要依據(jù).

勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意兩邊的長度，求第三邊的長.這里一定要注意找準斜邊、直角邊;二要熟悉公式的變形：

,.

2.勾股定理逆定理

“若三角形的兩條邊的平方和等于第三邊的平方，則這個三角形為________.”這一命題是勾股定理的逆定理.它可以幫助我們判斷三角形的形狀.為根據(jù)邊的關(guān)系解決角的有關(guān)問題提供了新的方法.定理的證明采用了構(gòu)造法.利用已知三角形的邊a,b,c(a2+b2=c2)，先構(gòu)造一個直角邊為a,b的直角三角形，由勾股定理證明第三邊為c,進而通過“SSS”證明兩個三角形全等，證明定理成立.

3.勾股定理的作用：

已知直角三角形的兩邊，求第三邊;

勾股定理的逆定理是用來判定一個三角形是否是直角三角形的，但在判定一個三角形是否是直角三角形時應(yīng)首先確定該三角形的邊，當其余兩邊的平方和等于邊的平方時，該三角形才是直角三角形.勾股定理的逆定理也可用來證明兩直線是否垂直，這一點同學

勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不僅可以判定三角形是否為直角三角形，還可以判定哪一個角是直角，從而產(chǎn)生了證明兩直線互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通過計算來證明，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

三角形的三邊分別為a、b、c，其中c為邊，若，則三角形是直角三角形;若，則三角形是銳角三角形;若，則三角形是鈍角三角形.所以使用勾股定理的逆定理時首先要確定三角形的邊.

二、考點剖析

考點一：利用勾股定理求面積

求：(1) 陰影部分是正方形; (2) 陰影部分是長方形; (3) 陰影部分是半圓.

2. 如圖，以Rt△ABC的三邊為直徑分別向外作三個半圓，試探索三個半圓的面積之間的關(guān)系.

考點二：在直角三角形中，已知兩邊求第三邊

例(09年山東濱州)如圖2，已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC邊上的高，AD=8，則邊BC的長為( )

A.21 B.15 C.6 D.以上答案都不對

【強化訓練】：1.在直角三角形中,若兩直角邊的長分別為5cm，7cm ，則斜邊長為 .

2.(易錯題、注意分類的思想)已知直角三角形的兩邊長為4、5，則另一條邊長的平方是

3、已知直角三角形兩直角邊長分別為5和12， 求斜邊上的高.(結(jié)論：直角三角形的兩條直角邊的積等于斜邊與其高的積，ab=ch)

考點三：應(yīng)用勾股定理在等腰三角形中求底邊上的高

例、(09年湖南長沙)如圖1所示，等腰中，，

是底邊上的高，若，求 ①AD的長;②ΔABC的面積.

考點四:應(yīng)用勾股定理解決樓梯上鋪地毯問題

例、(09年濱州)某樓梯的側(cè)面視圖如圖3所示，其中米，，

，因某種活動要求鋪設(shè)紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長度應(yīng)為 .

分析：如何利用所學知識，把折線問題轉(zhuǎn)化成直線問題，是問題解決的關(guān)鍵。仔細觀察圖形，不難發(fā)現(xiàn)，所有臺階的高度之和恰好是直角三角形ABC的直角邊BC的長度，所有臺階的寬度之和恰好是直角三角形ABC的直角邊AC的長度，只需利用勾股定理，求得這兩條線段的長即可。

考點五、利用列方程求線段的長(方程思想)

1、小強想知道學校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多2米，當他把繩子的下端拉開4米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫他算出來嗎?

【強化訓練】：折疊矩形ABCD的一邊AD,點D落在BC邊上的點F處,已知AB=4cm,BC=5cm,求CF 和EC。.

考點六：應(yīng)用勾股定理解決勾股樹問題

例、如右圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中的正方形的邊長為5，則正方形A，B，C，D的面積的和為

分析：勾股樹問題中，處理好兩個方面的問題，

一個是正方形的邊長與面積的關(guān)系，另一個是正方形的面積與直角三角形直角邊與斜邊的關(guān)系。

考點七：判別一個三角形是否是直角三角形

例1：分別以下列四組數(shù)為一個三角形的邊長：(1)3、4、5(2)5、12、13(3)8、15、17(4)4、5、6，其中能夠成直角三角形的有

【強化訓練】：已知△ABC中，三條邊長分別為a=n-1， b=2n， c=n+1(n>1).試判斷該三角形是否是直角三角形，若是，請指出哪一條邊所對的角是直角.

考點八：其他圖形與直角三角形

例：如圖是一塊地，已知AD=4m，CD=3m，∠D=90°，AB=13m，BC=12m，求這塊地的面積。

考點九：與展開圖有關(guān)的計算

例、如圖，在棱長為1的正方體ABCD—A’B’C’D’的表面上，求從頂點A到頂點C’的最短距離.

【強化訓練】：如圖一個圓柱，底圓周長6cm，高4cm，一只螞蟻沿外壁爬行，要從A點爬到B點，則最少要爬行 cm

四、課時作業(yè)優(yōu)化設(shè)計

【駐足“雙基”】

1.設(shè)直角三角形的三條邊長為連續(xù)自然數(shù)，則這個直角三角形的面積是_____.

2.直角三角形的兩直角邊分別為5cm，12cm，其中斜邊上的高為( ).

A.6cm B.8.5cm C.cm D.cm

【提升“學力”】

3.如圖，△ABC的三邊分別為AC=5，BC=12，AB=13，將△ABC沿AD折疊，使AC落在AB上，求DC的長.

4.如圖，一只鴨子要從邊長分別為16m和6m的長方形水池一角M游到水池另一邊中點N，那么這只鴨子游的最短路程應(yīng)為多少米?

5.一只螞蟻從長、寬都是3，高是8的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所爬行的最短路線的長是

6.如圖：在一個高6米，長10米的樓梯表面鋪地毯，

則該地毯的長度至少是 米。

【聚焦“中考”】

8.(海南省中考題)如圖，鐵路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站建在距A站多少千米處?

5.一只螞蟻從長、寬都是3，高是8的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所爬行的最短路線的長是

6.如圖：在一個高6米，長10米的樓梯表面鋪地毯，

則該地毯的長度至少是 米。

證明勾股定理的教案過程3

一.說教材

本課時是華師大版八年級(上)數(shù)學第14章第二節(jié)內(nèi)容,是在掌握勾股定理的基礎(chǔ)上對勾股定理的應(yīng)用之一. 勾股定理是我國古數(shù)學的一項偉大成就.勾股定理為我們提供了直角三角形的三邊間的數(shù)量關(guān)系,它的逆定理為我們提供了判斷三角形是否屬于直角三角形的依據(jù),也是判定兩條直線是否互相垂直的一個重要方法,這些成果被廣泛應(yīng)用于數(shù)學和實際生活的各個方面.教材在編寫時注意培養(yǎng)學生的動手操作能力和分析問題的能力,通過實際分析,使學生獲得較為直觀的印象,通過聯(lián)系和比較,了解勾股定理在實際生活中的廣泛應(yīng)用. 據(jù)此,制定教學目標如下: 1.知識和方法目標:通過對一些典型題目的思考,練習,能正確熟練地進行勾股定理有關(guān)計算,深入對勾股定理的理解. 2.過程與方法目標:通過對一些題目的探討,以達到掌握知識的目的. 3.情感與態(tài)度目標:感受數(shù)學在生活中的應(yīng)用,感受數(shù)學定理的美. 教學重點:勾股定理的應(yīng)用. 教學難點:勾股定理的正確使用. 教學關(guān)鍵:在現(xiàn)實情境中捕抓直角三角形,確定好直角三角形之后,再應(yīng)用勾股定理.

二.說教法和學法

1.以自學輔導為主,充分發(fā)揮教師的主導作用,運用各種手段激發(fā)學習欲望和興趣,組織學生活動,讓學生主動參與學習全過程. 2.切實體現(xiàn)學生的主體地位,讓學生通過觀察,分析,討論,操作,歸納理解定理,提高學生動手操作能力,以及分析問題和解決問題的能力. 3.通過演示實物,引導學生觀察,操作,分析,證明,使學生獲得新知的成功感受,從而激發(fā)學生鉆研新知的欲望.

三.教學程序

本節(jié)內(nèi)容的教學主要體現(xiàn)在學生的動手,動腦方面,根據(jù)學生的認知規(guī)律和學習心理,教學程序設(shè)置如下: 一.回顧問:勾股定理的內(nèi)容是什么? 勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系,今天我們來學習這個定理在實際生活中的應(yīng)用. 二.新授課例1.如圖所示,有一個圓柱,它的高AB等于4厘米,底面周長等于20厘米,在圓柱下底面的A點有一只螞蟻,它想吃到上底面與A點相對的C點處的食物,沿圓柱側(cè)面爬行的最短路線是多少?(課本P57圖14.2.1)

①學生取出自制圓柱,,嘗試從A點到C點沿圓柱側(cè)面畫出幾條路線.思考:那條路線最短? ②如圖,將圓柱側(cè)面剪開展成一個長方形,從A點到C點的最短路線是什么?你畫得對嗎? ③螞蟻從A點出發(fā),想吃到C點處的食物,它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路線是什么?

思路點撥:引導學生在自制的圓柱側(cè)面上尋找最短路線;提醒學生將圓柱側(cè)面展開成長方形,引導學生觀察分析發(fā)現(xiàn)“兩點之間的所有線中,線段最短”. 學生在自主探索的基礎(chǔ)上興趣高漲，氣氛異常的活躍，他們發(fā)現(xiàn)螞蟻從A點往上爬到B點后順著直徑爬向C點爬行的路線是最短的!我也意外的發(fā)現(xiàn)了這種爬法是正確的，但是課本上是順著側(cè)面往上爬的，我就告訴學生：“課本中的圓柱體是沒有上蓋的”。只有這樣課本上的解答才算是完全正確的。例2.(課本P58圖14.2.3) 思路點撥:廠門的寬度是足夠的,這個問題的關(guān)鍵是觀察當卡車位于廠門正中間時其高度是否小于CH,點D在離廠門中線0.8米處,且CD⊥AB, 與地面交于H,尋找出Rt△OCD，運用勾股定理求出

2.3m

CD= = =0.6,CH=0.6+2.3=2.9>2.5可見卡車能順利通過 .詳細解題過程看課本 引導學生完成P58做一做. 三.課堂小練 1.課本P58練習第1,2題. 2.探究: 一門框的尺寸如圖所示,一塊長3米,寬2.2米的薄木板是否能從門框內(nèi)通過?為什么?

四.小結(jié)直角三角形在實際生活中有更為廣泛的應(yīng)用希望同學們能緊緊抓住直角三角形的性質(zhì)，學透勾股定理的具體應(yīng)用，那樣就能很輕松的解決現(xiàn)實生活中的許多問題，達到事倍功半的效果。

五.布置作業(yè) 課本P60習題14.2第1,2,3題.

證明勾股定理的教案過程4

一、素質(zhì)教育目標

(一)知識教育點

1、用驗證法發(fā)現(xiàn)直角三角形中存在的邊的關(guān)系。

2、掌握定理證明的基本方法。

(二)能力訓練點

觀察和分析直角三角形中，兩邊的變化對第三邊的影響，總結(jié)出直角三角形各邊的基本關(guān)系。

(三)德育滲透點

培養(yǎng)學生掌握由特殊到一般的化歸思想，從具體到抽象的思維方法，以及化歸的思想，從而達到從感性認識到理性認識的飛躍;又從一般到特殊，從抽象到具體，應(yīng)用到實踐中去。

二、教學重點、難點及解決辦法

1、重點：發(fā)現(xiàn)并證明勾股定理。

2、難點：圖形面積的轉(zhuǎn)化。

3、突出重點，突破難點的辦法：《幾何畫板》輔助教學。

三、教學手段 ：

利用計算機輔助面積轉(zhuǎn)化的探求。

四、課時安排：

本課題安排1課時

五、教學設(shè)想：

想培養(yǎng)學生的思維能力，為學生提供一個豐富的思維空間，使學生能夠根據(jù)“式，數(shù)、形”等不同的結(jié)構(gòu)從不同的角度去分析問解決問題

六、教學過程(略)

證明勾股定理的教案過程5

一、《標準》要求

1.在研究圖形性質(zhì)和運動等過程中，進一步發(fā)展空間觀念。 2.在多種形式的數(shù)學活動中，發(fā)展合情推理能力。

3.經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性。 4.探究勾股定理及其逆定理，并能運用他們解決一些簡單的實際問題。

二、 教學目標：

(一)、知識與技能：

經(jīng)歷勾股定理及其逆定理的探索過程，了解勾股定理的各種探究法方法及其內(nèi)在聯(lián)系，體驗數(shù)形結(jié)合的思想，解和掌握勾股定理內(nèi)容及簡單應(yīng)用，進一步發(fā)展空間觀念和推理能力。

(二)、過程與方法：

1.掌握勾股定理及其逆定理的內(nèi)容;

2.能夠運用勾股定理求解三角形中相關(guān)的邊長(只限于常用的數(shù));

3.通過對勾股定理的探索解決簡單的實際問題，進一步運用方程思想解決問題.

(三)、情感態(tài)度與價值觀

通過實例了解勾股定理的歷史與應(yīng)用，體會勾股定理的文化價值。

三、教學重點

勾股定理及其逆定理在解決數(shù)學問題中的靈活應(yīng)用

四、教學難點

勾股定理及其逆定理的證明

五、教學過程

一、引入新課

據(jù)傳兩千多年前的一天(公元前580-490年左右)，古希臘著名的數(shù)學家畢達哥拉斯到朋友家做客，在宴席上，其他的賓客都在盡情歡樂，只有畢達哥拉斯卻看著朋友家的方磚地發(fā)起呆來，原來朋友家的地面是由許多直角三角形組成的圖案，黑白相間，美觀大方。主人看到畢達哥拉斯的樣子非常奇怪，就想過去問他，誰知，畢達哥拉斯突然恍然大悟地站了起來，大笑著跑回去了，原來，他發(fā)現(xiàn)了地磚上的三個正方形存在某種數(shù)學關(guān)系。

那么黑白相間的地磚上的正方形之間存在怎樣的關(guān)系呢?讓我們一起來探索!

勾股定理被稱為“幾何學的基石”，勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。在中國，商朝時期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。

別名：商高定理、畢達哥拉斯定理、百牛定理。

2 1(1)、動手畫一個直角邊為3cm和4cm的直角△ABC，用

刻度尺量出AB的長。 (2)、再畫一個兩直角邊為5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的長

你能觀察出直角三角形的三邊關(guān)系嗎?看不出來的話我們先來看一下下面的活動。

4.如果直角三角形的兩直角邊分別為1.6個單位長度和2.4個單位長度，上面的猜想關(guān)系還成立嗎?

二、新知傳授

通過上面的活動，可以發(fā)現(xiàn)：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。因為我國古代把直角三角形較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，因此我國把上面的這個結(jié)論稱為勾股定理。

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用a,b,c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a?b?c。 22

23

勾股定理的一些變式：

2a2?c2?b2，b2?c2?a2， c??a?b??2ab.

2勾股定理的證明

勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化進行證明的，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

方法一：如圖(3)所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.

，所以.

(這個方法叫加菲爾德證法。加菲爾德在證出此結(jié)論5年后，成為美國第20任總統(tǒng)，所以人們又稱其為“總統(tǒng)證法”。)

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖(1)所示的正方形.

圖(1)中

，所以

.

這是加菲爾德證法變式

4 如果將大正方形邊長為c的小正方形沿對角線切開，則回到了加菲爾德證 法。相反，若將上圖中兩個梯形拼在一起，就變?yōu)榱舜俗C明方法。

大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個三角形的面積，即:

方法三：將四個全等的直角三角形拼成如圖(2)所示的正方形.

圖(2)中

，所以

.

(這個方法是以前一個叫趙爽的人對這個圖做出的描述，所以這個圖又叫趙爽弦圖，用現(xiàn)代的數(shù)學語言描述就是大正方形的面積等于小正方形的面積加上四個三角形的面積。)

那么勾股定理到底可以用來干什么呢?

勾股定理的作用

1. 已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊; 2. 用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題; 3. 與勾股定理有關(guān)的面積計算; 4.勾股定理在實際生活中的應(yīng)用.

類型

一、勾股定理的直接應(yīng)用

例

1、在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c.

5 (1)若a=5，b=12，求c; (2)若c=26，b=24，求a.

【思路點撥】利用勾股定理a2?b2?c2來求未知邊長.

解：(1)因為△ABC中，∠C=90°，a2?b2?c2，a=5，b=12，所以c2?a2?b2?52?122?25?144?169.所以c=13.

(2)因為△ABC中，∠C=90°，a2?b2?c2，c=26，b=24，所以a2?c2?b2?262?242?676?576?100.所以a=10.

練習1

△ABC，AC=6，BC=8,當AB=________時，∠C=90°

2.在△ABC中，?A?900，則下列式子中不成立的是() A.BC2?AB2?AC

2B.AC2?BC2-AB2 B.

AB2?BC2?AC2

D.AB2?AC2?BC2

3.在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c.(1)已知b=6，c=10，求a;

(2)已知a:c?3:5，b=32，求a、c.

【答案】

解：(1)∵ ∠C=90°，b=6，c=10，

∴ a?c?b?10?6?64， ∴ a=8. (2)設(shè)a?3k，c?5k，

∵ ∠C=90°，b=32， ∴ a?b?c.

222(3k)?32?(5k)即. 22222222解得k=8.

∴ a?3k?3?8?24，c?5k?5?8?40.

類型

二、與勾股定理有關(guān)的證明

例

2、(2015?豐臺區(qū)一模)閱讀下面的材料

勾股定理神秘而美妙，它的證法多種多樣，下面是教材中介紹的一種拼圖證明勾股定理的方法.先做四個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，然后按圖1的方法將它們擺成正方形.

由圖1可以得到(a+b)=4×222

2，

整理，得a+2ab+b=2ab+c.

222所以a+b=c.

如果把圖1中的四個全等的直角三角形擺成圖2所示的正方形，請你參照上述證明勾股定理的方法，完成下面的填空：

由圖2可以得到

， 整理，得

， 所以

.

【答案與解析】

證明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+(b﹣a)2，

7 ∴c2=4×ab+(b﹣a)2， 整理，得

2ab+b2﹣2ab+a2=c2， ∴c2=a2+b2. 故答案是：4?1ab?(b-a)2?c2;2ab+b2﹣2ab+a2=c2;a2+b2=c2. 2

練習2 如圖，在△ABC中，∠C=90°，D為BC邊的中點，DE⊥AB于E，則AE2-BE2等于( )

A.AC2

B.BD2

C.BC2

D.DE2

【答案】連接AD構(gòu)造直角三角形，得

，選A.

類型

三、與勾股定理有關(guān)的線段長

例

3、如圖，長方形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點B落在點F 處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長為( )

A.3 B.4 C.5 D.6

【答案】D; 【解析】

解：設(shè)AB=x，則AF=x，

∵ △ABE折疊后的圖形為△AFE， ∴ △ABE≌△AFE.BE=EF， EC=BC-BE=8-3=5， 在Rt△EFC中，

由勾股定理解得FC=4，

8 22在Rt△ABC中，x?8??x?4?，解得x?6.

2類型

四、與勾股定理有關(guān)的面積計算

例

4、如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為(

)

A.6

B.5

C.11

D.16 【思路點撥】本題主要考察了全等三角形與勾股定理的綜合應(yīng)用，由b是正方形，可求△ABC≌△CDE.由勾股定理可求b的面積=a的面積+c的面積. 【答案】D

【解析】

解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°， ∴∠ACB=∠DEC， 在△ABC和△CDE中，

∵??ABC??CDE???ACB??DEC?AC?CE?

∴△ABC≌△CDE ∴BC=DE ∵AB?BC?AC ∴AB?DE?AC

∴b的面積為5+11=16，故選D.

練習4如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，請在圖中找出若干圖形，使得它們的面積之和恰好等于最大正方形①的面積，嘗試給出兩種以上的方案。

9 22222

24.如圖，所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，則S=(

)

A.25 B.31 C.32 D.40

【答案】解：如圖，由題意得： AB2=S1+S2=13， AC2=S3+S4=18，

∴BC2=AB2+AC2=31， ∴S=BC2=31， 故選B.

類型

五、利用勾股定理解決實際問題

例

5、有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對角線，已知門寬4尺，求竹竿高與門高.

【思路點撥】根據(jù)題中所給的條件可知，竹竿斜放就恰好等于門的對角線長，可與門的寬和高構(gòu)成直角三角形，運用勾股定理可求出門高.

10

【答案與解析】

解：設(shè)門高為x尺，則竹竿長為(x+1)尺， 根據(jù)勾股定理可得：

x2+42=(x+1)2，即x2+16=x2+2x+1， 解得：x=7.5，

竹竿高=7.5+1=8.5(尺)

答：門高7.5尺，竹竿高8.5尺.

練習5

如圖，某儲藏室入口的截面是一個半徑為1.2m的半圓形，一個長、寬、高分別是1.2m,1m,0.8m的箱子能放進儲藏室嗎?

5.如圖所示，一旗桿在離地面5m處斷裂，旗桿頂部落在離底部12m處，則旗桿折斷前有多高?

【答案】

解：因為旗桿是垂直于地面的，所以∠C=90°，BC=5m，AC=12m， ∴

AB?BC?222AC?52?122?169 .∴

AB?13(m).

∴

BC+AB=5+13=18(m).

∴

旗桿折斷前的高度為18m.