一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關(guān)概念并用這些概念解決問題.一起看看蘇教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教案!歡迎查閱!

蘇教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教案1

教學(xué)內(nèi)容

一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關(guān)概念. 教學(xué)目標(biāo)

2

了解一元二次方程的概念;一般式ax+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念;?應(yīng)用一元二次方程概念解決一些簡單題目.

1.通過設(shè)臵問題，建立數(shù)學(xué)模型，?模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義. 2.一元二次方程的一般形式及其有關(guān)概念. 3.解決一些概念性的題目.

4.通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情. 重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.?重點(diǎn)：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關(guān)概念并用這些概念解決問題. 2.難點(diǎn)關(guān)鍵：通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，?再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念. 教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動(dòng)：列方程. 問題(1)古算趣題：“執(zhí)竿進(jìn)屋”

笨人執(zhí)竿要進(jìn)屋，無奈門框攔住竹，橫多四尺豎多二，沒法急得放聲哭。 有個(gè)鄰居聰明者，教他斜竿對(duì)兩角，笨伯依言試一試，不多不少剛抵足。 借問竿長多少數(shù)，誰人算出我佩服。

如果假設(shè)門的高為x?尺，?那么，?這個(gè)門的寬為_______?尺，長為_______?尺， ?根據(jù)題意，?得________. 整理、化簡，得：__________. 二、探索新知

學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)口答下面問題.

(1)上面三個(gè)方程整理后含有幾個(gè)未知數(shù)?

(2)按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它們次數(shù)是幾次? (3)有等號(hào)嗎?還是與多項(xiàng)式一樣只有式子? 老師點(diǎn)評(píng)：(1)都只含一個(gè)未知數(shù)x;(2)它們的次數(shù)都是2次的;(3)?都有等號(hào)，是方程. 因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的次數(shù)是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.

2

一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，?經(jīng)過整理，?都能化成如下形式ax+bx+c=0(a≠0).這種形式叫做一元二次方程的一般形式.

2

一個(gè)一元二次方程經(jīng)過整理化成ax+bx+c=0(a≠0)后，其中ax是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù);bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù);c是常數(shù)項(xiàng).

例1.將方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).

2

分析：一元二次方程的一般形式是ax+bx+c=0(a≠0).因此，方程3x(x-1)=5(x+2)必須運(yùn)用整式運(yùn)算進(jìn)行整理，包括去括號(hào)、移項(xiàng)等.

解：略

注意:二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都包括前面的符號(hào).

2

例2.(學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)二至三位同學(xué)上臺(tái)演練) 將方程(x+1)+(x-2)(x+2)=?1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù);一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù);常數(shù)項(xiàng).

22

分析：通過完全平方公式和平方差公式把(x+1)+(x-2)(x+2)=1化成ax+bx+c=0(a≠0)的形式. 解：略

三、鞏固練習(xí)

教材 練習(xí)1、2

補(bǔ)充練習(xí):判斷下列方程是否為一元二次方程?

(1)3x+2=5y-3 (2) x=4 (3) 3x-2

2

22

52 2 2

=0 (4) x-4=(x+2) (5) ax+bx+c=0 x

四、應(yīng)用拓展

22

例3.求證：關(guān)于x的方程(m-8m+17)x+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程.

2

分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m-8m+17?≠0即可.

22

證明：m-8m+17=(m-4)+1

2

∵(m-4)≥0

22

∴(m-4)+1>0，即(m-4)+1≠0

∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程.

2

? 練習(xí): 1.方程(2a—4)x—2bx+a=0, 在什么條件下此方程為一元二次方程?在什么條件下此方程為

一元一次方程?

/4m/-4

2.當(dāng)m為何值時(shí),方程(m+1)x+27mx+5=0是關(guān)于的一元二次方程 五、歸納小結(jié)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)) 本節(jié)課要掌握：

2

(1)一元二次方程的概念;(2)一元二次方程的一般形式ax+bx+c=0(a≠0)?和二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)的概念及其它們的運(yùn)用. 六、布臵作業(yè)

第2課時(shí) 21.1 一元二次方程

教學(xué)內(nèi)容

1.一元二次方程根的概念;

2.?根據(jù)題意判定一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的根及其利用它們解決一些具體題目. 教學(xué)目標(biāo)

了解一元二次方程根的概念，會(huì)判定一個(gè)數(shù)是否是一個(gè)一元二次方程的根及利用它們解決一些具體問題. 提出問題，根據(jù)問題列出方程，化為一元二次方程的一般形式，列式求解;由解給出根的概念;再由根的概念判定一個(gè)數(shù)是否是根.同時(shí)應(yīng)用以上的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)解決一些具體問題. 重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根;

2.?難點(diǎn)關(guān)鍵：由實(shí)際問題列出的一元二次方程解出根后還要考慮這些根是否確定是實(shí)際問題的根.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)獨(dú)立完成下列問題.

2

問題1.前面有關(guān)“執(zhí)竿進(jìn)屋”的問題中,我們列得方程x-8x+20=0

列表：

問題2列表：

3

老師點(diǎn)評(píng)(略) 二、探索新知 提問：(1)問題1中一元二次方程的解是多少?問題2?中一元二次方程的解是多少? (2)如果拋開實(shí)際問題，問題2中還有其它解嗎?

22

老師點(diǎn)評(píng)：(1)問題1中x=2與x=10是x-8x+20=0的解，問題2中，x=4是x+7x-44=0的解.(2)如

果拋開實(shí)際問題，問題2中還有x=-11的解.

一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.

2

回過頭來看：x-8x+20=0有兩個(gè)根，一個(gè)是2，另一個(gè)是10，都滿足題意;但是，問題2中的x=-11的根不滿足題意.因此，由實(shí)際問題列出方程并解得的根，并不一定是實(shí)際問題的根，還要考慮這些根是否確實(shí)是實(shí)際問題的解.

2

例1.下面哪些數(shù)是方程2x+10x+12=0的根? -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.

分析：要判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式兩邊相等即可.

2

解：將上面的這些數(shù)代入后，只有-2和-3滿足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x+10x+12=0的兩根.

2

例2.若x=1是關(guān)于x的一元二次方程a x+bx+c=0(a≠0)的一個(gè)根,求代數(shù)式2007(a+b+c)的值

2 2

練習(xí):關(guān)于x的一元二次方程(a-1) x+x+a-1=0的一個(gè)根為0,則求a的值

點(diǎn)撥:如果一個(gè)數(shù)是方程的根,那么把該數(shù)代入方程,一定能使左右兩邊相等,這種解決問題的思維方法經(jīng)常用到,同學(xué)們要深刻理解.

例3.你能用以前所學(xué)的知識(shí)求出下列方程的根嗎?

222

(1)x-64=0 (2)3x-6=0 (3)x-3x=0

分析：要求出方程的根，就是要求出滿足等式的數(shù)，可用直接觀察結(jié)合平方根的意義. 解：略

三、鞏固練習(xí)

教材 思考題 練習(xí)1、2.

四、歸納小結(jié)(學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評(píng)) 本節(jié)課應(yīng)掌握：

(1)一元二次方程根的概念;

(2)要會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的根;

(3)要會(huì)用一些方法求一元二次方程的根.(“夾逼”方法; 平方根的意義) 六、布臵作業(yè)

蘇教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教案2

二次根式

教材內(nèi)容

1.本單元教學(xué)的主要內(nèi)容：

二次根式的概念;二次根式的加減;二次根式的乘除;最簡二次根式.

2.本單元在教材中的地位和作用：

二次根式是在學(xué)完了八年級(jí)下冊(cè)第十七章《反比例正函數(shù)》、第十八章《勾股定理及其應(yīng)用》等內(nèi)容的基礎(chǔ)之上繼續(xù)學(xué)習(xí)的，它也是今后學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ).

教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能

(1)理解二次根式的概念.

(2)理解 (a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)，( )2=a(a≥0)， =a(a≥0).

(3)掌握 ? = (a≥0，b≥0)， = ? ;

= (a≥0，b>0)， = (a≥0，b>0).

(4)了解最簡二次根式的概念并靈活運(yùn)用它們對(duì)二次根式進(jìn)行加減.

2.過程與方法

(1)先提出問題，讓學(xué)生探討、分析問題，師生共同歸納，得出概念.再對(duì)概念的內(nèi)涵進(jìn)行分析，得出幾個(gè)重要結(jié)論，并運(yùn)用這些重要結(jié)論進(jìn)行二次根式的計(jì)算和化簡.

(2)用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律，用不完全歸納法得出二次根式的乘(除)法規(guī)定，并運(yùn)用規(guī)定進(jìn)行計(jì)算.

(3)利用逆向思維，得出二次根式的乘(除)法規(guī)定的逆向等式并運(yùn)用它進(jìn)行化簡.

(4)通過分析前面的計(jì)算和化簡結(jié)果，抓住它們的共同特點(diǎn)，給出最簡二次根式的概念.利用最簡二次根式的概念，來對(duì)相同的二次根式進(jìn)行合并，達(dá)到對(duì)二次根式進(jìn)行計(jì)算和化簡的目的.

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

通過本單元的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，經(jīng)過探索二次根式的重要結(jié)論，二次根式的乘除規(guī)定，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

教學(xué)重點(diǎn)

1.二次根式 (a≥0)的內(nèi)涵. (a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù);( )2=a(a≥0); =a(a≥0)及其運(yùn)用.

2.二次根式乘除法的規(guī)定及其運(yùn)用.

3.最簡二次根式的概念.

4.二次根式的加減運(yùn)算.

教學(xué)難點(diǎn)

1.對(duì) (a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)的理解;對(duì)等式( )2=a(a≥0)及 =a(a≥0)的理解及應(yīng)用.

2.二次根式的乘法、除法的條件限制.

3.利用最簡二次根式的概念把一個(gè)二次根式化成最簡二次根式.

教學(xué)關(guān)鍵

1.潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生從具體到一般的推理能力，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn).

2.培養(yǎng)學(xué)生利用二次根式的規(guī)定和重要結(jié)論進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算的能力，培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍的科學(xué)精神.

單元課時(shí)劃分

本單元教學(xué)時(shí)間約需11課時(shí)，具體分配如下：

21.1 二次根式 3課時(shí)

21.2 二次根式的乘法 3課時(shí)

21.3 二次根式的加減 3課時(shí)

教學(xué)活動(dòng)、習(xí)題課、小結(jié) 2課時(shí)

21.1 二次根式

第一課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

二次根式的概念及其運(yùn)用

教學(xué)目標(biāo)

理解二次根式的概念，并利用 (a≥0)的意義解答具體題目.

提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實(shí)際問題.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：形如 (a≥0)的式子叫做二次根式的概念;

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：利用“ (a≥0)”解決具體問題.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動(dòng))請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成下列三個(gè)問題：

問題1：已知反比例函數(shù)y= ，那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)的坐標(biāo)是___________.

問題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB邊的長是__________.

問題3：甲射擊6次，各次擊中的環(huán)數(shù)如下：8、7、9、9、7、8，那么甲這次射擊的方差是S2，那么S=_________.

老師點(diǎn)評(píng)：

問題1：橫、縱坐標(biāo)相等，即x=y，所以x2=3.因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以x= ，所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)( ， ).

問題2：由勾股定理得AB=

問題3：由方差的概念得S= .

二、探索新知

很明顯 、 、 ，都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根.像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子，我們就把它稱二次根式.因此，一般地，我們把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”稱為二次根號(hào).

(學(xué)生活動(dòng))議一議：

1.-1有算術(shù)平方根嗎?

2.0的算術(shù)平方根是多少?

3.當(dāng)a<0， 有意義嗎?

老師點(diǎn)評(píng):(略)

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、 、 、 (x>0)、 、 、- 、 、 (x≥0，y≥0).

分析：二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號(hào)“ ”;第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0.

解：二次根式有： 、 (x>0)、 、- 、 (x≥0，y≥0);不是二次根式的有： 、 、 、 .

例2.當(dāng)x是多少時(shí)， 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?

分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0，所以3x-1≥0， 才能有意義.

解：由3x-1≥0，得：x≥

當(dāng)x≥ 時(shí)， 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

三、鞏固練習(xí)

教材P練習(xí)1、2、3.

四、應(yīng)用拓展

例3.當(dāng)x是多少時(shí)， + 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?

分析：要使 + 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時(shí)滿足 中的≥0和 中的x+1≠0.

解：依題意，得

由①得：x≥-

由②得：x≠-1

當(dāng)x≥- 且x≠-1時(shí)， + 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

例4(1)已知y= + +5，求 的值.(答案:2)

(2)若 + =0，求a2004+b2004的值.(答案: )

五、歸納小結(jié)(學(xué)生活動(dòng)，老師點(diǎn)評(píng))

本節(jié)課要掌握：

1.形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”稱為二次根號(hào).

2.要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

六、布置作業(yè)

1.教材P8復(fù)習(xí)鞏固1、綜合應(yīng)用5.

2.選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

3.課后作業(yè):《同步訓(xùn)練》

第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)

一、選擇題 1.下列式子中，是二次根式的是( )

A.- B. C. D.x

2.下列式子中，不是二次根式的是( )

A. B. C. D.

3.已知一個(gè)正方形的面積是5，那么它的邊長是( )

A.5 B. C. D.以上皆不對(duì)

二、填空題

1.形如________的式子叫做二次根式.

2.面積為a的正方形的邊長為________.

3.負(fù)數(shù)________平方根.

三、綜合提高題

1.某工廠要制作一批體積為1m3的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m，按設(shè)計(jì)需要，底面應(yīng)做成正方形，試問底面邊長應(yīng)是多少?

2.當(dāng)x是多少時(shí)， +x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?

3.若 + 有意義，則 =_______.

4.使式子 有意義的未知數(shù)x有( )個(gè).

A.0 B.1 C.2 D.無數(shù)

5.已知a、b為實(shí)數(shù)，且 +2 =b+4，求a、b的值.

第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)答案:

一、1.A 2.D 3.B

二、1. (a≥0) 2. 3.沒有

三、1.設(shè)底面邊長為x，則0.2x2=1，解答：x= .

2.依題意得： ，

∴當(dāng)x>- 且x≠0時(shí)， +x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有意義.

3.

4.B

5.a=5，b=-4

蘇教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教案3

教學(xué)內(nèi)容

1. (a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù);

2.( )2=a(a≥0).

教學(xué)目標(biāo)

理解 (a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)和( )2=a(a≥0)，并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡.

通過復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出 (a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出( )2=a(a≥0);最后運(yùn)用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)： (a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù);( )2=a(a≥0)及其運(yùn)用.

2.難點(diǎn)、關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出 (a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù);用探究的方法導(dǎo)出( )2=a(a≥0).

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動(dòng))口答

1.什么叫二次根式?

2.當(dāng)a≥0時(shí)， 叫什么?當(dāng)a<0時(shí)， 有意義嗎?

老師點(diǎn)評(píng)(略).

二、探究新知

議一議：(學(xué)生分組討論，提問解答)

(a≥0)是一個(gè)什么數(shù)呢?

老師點(diǎn)評(píng)：根據(jù)學(xué)生討論和上面的練習(xí)，我們可以得出

(a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù).

做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：

( )2=_______;( )2=_______;( )2=______;( )2=_______;

( )2=______;( )2=_______;( )2=_______.

老師點(diǎn)評(píng)： 是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義， 是一個(gè)平方等于4的非負(fù)數(shù)，因此有( )2=4.

同理可得：( )2=2，( )2=9，( )2=3，( )2= ，( )2= ，( )2=0，所以

( )2=a(a≥0)

例1 計(jì)算

1.( )2 2.(3 )2 3.( )2 4.( )2

分析：我們可以直接利用( )2=a(a≥0)的結(jié)論解題.

解：( )2 = ，(3 )2 =32?( )2=32?5=45，

( )2= ，( )2= .

三、鞏固練習(xí)

計(jì)算下列各式的值：

( )2 ( )2 ( )2 ( )2 (4 )2

四、應(yīng)用拓展

例2 計(jì)算

1.( )2(x≥0) 2.( )2 3.( )2

4.( )2

分析：(1)因?yàn)閤≥0，所以x+1>0;(2)a2≥0;(3)a2+2a+1=(a+1)≥0;

(4)4x2-12x+9=(2x)2-2?2x?3+32=(2x-3)2≥0.

所以上面的4題都可以運(yùn)用( )2=a(a≥0)的重要結(jié)論解題.

解：(1)因?yàn)閤≥0，所以x+1>0

( )2=x+1

(2)∵a2≥0，∴( )2=a2

(3)∵a2+2a+1=(a+1)2

又∵(a+1)2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴ =a2+2a+1

(4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2?2x?3+32=(2x-3)2

又∵(2x-3)2≥0

∴4x2-12x+9≥0，∴( )2=4x2-12x+9

例3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式:

(1)x2-3 (2)x4-4 (3) 2x2-3

分析：(略)

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1. (a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù);

2.( )2=a(a≥0);反之:a=( )2(a≥0).

六、布置作業(yè)

1.教材P8 復(fù)習(xí)鞏固2.(1)、(2) P9 7.

2.選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

3.課后作業(yè):《同步訓(xùn)練》