宿遷市三校2016屆高三學情調研數學試卷及答案（蘇教版）
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在答題卡相應位置上．
1．函數f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期為 ▲ ．
2．已知復數z＝1＋i1，其中i是虛數單位，則|z|＝ ▲ ．
3．某學校高一、高二、高三年級的學生人數之比為4：3：3，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學生中抽取容量為80的樣本，則應從高一年級抽取 ▲ 名學生．
4．從甲、乙、丙、丁4位同學中隨機選出2名代表參加學校會議，則甲被選中的概率是 ▲ ．
5．已知向量a＝(2，1)，b＝(0，－1)．若(a＋λb)⊥a，
則實數λ＝ ▲ ．
6．右圖是一個算法流程圖，則輸出S的值是 ▲ ．
7．已知雙曲線a2x2－b2y2＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程
為y＝±x，則該雙曲線的離心率為 ▲ ．
8．已知圓錐的側面展開圖是一個半徑為2的半圓，則這個圓錐的高是 ▲ ．
9．設f(x)＝x2－3x＋a．若函數f(x)在區(qū)間(1，3)內有零點，則實數a的取值范圍為 ▲ ．
10．在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c．已知a＋2c＝2b，sinB＝2sinC，則cosA＝ ▲ ．
11．若f(x)＝xa－x＋3a，x＜1， x≥1，是R上的單調函數，則實數a的取值范圍為 ▲ ．
12．記數列{an}的前n項和為Sn．若a1＝1，Sn＝2(a1＋an)(n≥2，n∈N*)，則Sn＝ ▲ ．
13．在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2＋y2－6x＋5＝0，點A，B在圓C上，且AB＝2，則|→OA＋→OB|的值是 ▲ ．
14．已知函數f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e為自然對數的底，則滿足f(ex)＜0的x的取值范圍
為 ▲ ．
二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分14分）
已知函數f(x)＝2sin(2x＋φ)(0＜φ＜2π)的圖象過點(2π，－2)．
?。?）求φ的值；
（2）若f(2α)＝56，－2π＜α＜0，求sin(2α－6π)的值．
16．（本小題滿分14分）
如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別為AB，B1C1的中點．
（1）求證：MN∥平面AA1C1C；
?。?）若CC1＝CB1，CA＝CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求證：AB^平面CMN．
17．（本小題滿分14分）
已知{an}是等差數列，其前n項的和為Sn， {bn}是等比數列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝21，
S4＋b4＝30．
?。?）求數列{an}和{bn}的通項公式；
?。?）記cn＝anbn，n∈N*，求數列{cn}的前n項和．
18．（本小題滿分16分）
給定橢圓C：a2x2＋b2y2＝1(a＞b＞0)，稱圓C1：x2＋y2＝a2＋b2為橢圓C的“伴隨圓”．已知橢圓C的離心率為23，且經過點(0，1)．
?。?）求實數a，b的值；
（2）若過點P(0，m)(m＞0)的直線l與橢圓C有且只有一個公共點，且l被橢圓C的伴隨圓C1所截得的弦長為2，求實數m的值．
19．（本小題滿分16分）
如 圖（示意），公路AM、AN圍成的是一塊頂角為α的角形耕地，其中tanα＝－2．在該塊土地中P處有一小型建筑，經測量，它到公路AM，AN的距離分別 為3km，km．現(xiàn)要過點P修建一條直線公路BC，將三條公路圍成的區(qū)域ABC建成一個工業(yè)園．為盡量減少耕地占用，問如何確定B點的位置，使得該工業(yè)園 區(qū)的面積最小？并求最小面積．
20．（本小題滿分16分）
已知函數f(x)＝ax3＋|x－a|，aR．
?。?）若a＝－1，求函數y＝f(x) (x[0，＋∞))的圖象在x＝1處的切線方程；
?。?）若g(x)＝x4，試討論方程f(x)＝g(x)的實數解的個數；
?。?）當a＞0時，若對于任意的x1[a，a＋2]，都存在x2[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，求滿足條件的正整數a的取值的集合．
宿遷市三校2016屆高三學情調研數學試卷及答案（附加題）
21．【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答卷卡指定區(qū)域內作答．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4—1：幾何證明選講
如圖，PA是圓O的切線，A為切點，PO與圓O交于點B、C，AQ^OP，垂足為Q．若PA＝4，PC＝2，求AQ的長．
B．選修4—2：矩陣與變換
已知矩陣A＝31屬于特征值l的一個特征向量為α＝－1 1 ．
?。?）求實數b，l的值；
?。?）若曲線C在矩陣A對應的變換作用下，得到的曲線為C¢：x2＋2y2＝2，求曲線C的方程．
C．選修4—4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數方程為2321t1(t為參數 )，圓C的參數方程為3y＝sinθ＋cosθ，(θ為參數)．若點P是圓C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值．
D．選修4—5：不等式選講
已知a，b是正數，且a＋b＝1，求證：(ax＋by)(bx＋ay)≥xy．
【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分．請在答卷卡指定區(qū)域內作答．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
22．如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，CC1＝5，E是棱CC1上不同于端點的點，且→CE＝λ→CC1．
?。?） 當∠BEA1為鈍角時，求實數λ的取值范圍；
?。?） 若λ＝52，記二面角B1－A1B－E的的大小為θ，求|cosθ|．
23．某商店為了吸引顧客，設計了一個摸球小游戲，顧客從裝有1個紅球，1個白球，3個黑球的袋中一次隨機的摸2個球，設計獎勵方式如下表：
結果獎勵1紅1白10元1紅1黑5元2黑2元1白1黑不獲獎（1）某顧客在一次摸球中獲得獎勵X元，求X的概率分布表與數學期望；
?。?）某顧客參與兩次摸球，求他能中獎的概率．
宿遷市三校2016屆高三學情調研數學試卷及答案（蘇教版）
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．
1．π 2．22 3．32 4．21 5．5
6．35 7．2 8． 9．(0，49] 10．42
11．[21，＋∞) 12．2－2n－1 13．8 14．(0，1)
二、解答題：本大題共6小題，共計90分．
15．（本小題滿分14分）
解：（1）因為函數f(x)＝2sin(2x＋φ)(0＜φ＜2π)的圖象過點(2π，－2)，
所以f(2π)＝2sin(π＋φ)＝－2，
即sinφ＝1． …………………………………………… 4分
因為0＜φ＜2π，所以φ＝2π． …………………………………………… 6分
?。?）由（1）得，f(x)＝2cos2x． ………………………………………… 8分
因為f(2α)＝56，所以cosα＝53．
又因為－2π＜α＜0，所以sinα＝－54． …………………………………… 10分
所以sin2α＝2sinαcosα＝－2524，cos2α＝2cos2α－1＝－257．…………………… 12分
從而sin(2α－6π)＝sin2αcos6π－cos2αsin6π＝503． …………………… 14分
16．（本小題滿分14分）
證明：（1）取A1C1的中點P，連接AP，NP．
因為C1N＝NB1，C1P＝PA1，所以NP∥A1B1，NP＝21A1B1． …………………… 2分
在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1∥AB，A1B1＝AB．
故NP∥AB，且NP＝21AB．
因為M為AB的中點，所以AM＝21AB．
所以NP＝AM，且NP∥AM．
所以四邊形AMNP為平行四邊形．
所以MN∥AP． ……………………………………… 4分
因為APÌ平面AA1C1C，MNË平面AA1C1C，
所以MN∥平面AA1C1C． ……………………………………………… 6分
?。?）因為CA＝CB，M為AB的中點，所以CM⊥AB． …………………………… 8分
因為CC1＝CB1，N為B1C1的中點，所以CN⊥B1C1．
在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC∥B1C1，所以CN^BC．
因為平面CC1B1B⊥平面ABC，平面CC1B1B∩平面ABC＝BC．CNÌ平面CC1B1B，
所以CN⊥平面ABC． …………………………………… 10分
因為ABÌ平面ABC，所以CN⊥AB． …………………………………… 12分
因為CMÌ平面CMN，CNÌ平面CMN，CM∩CN＝C，
所以AB⊥平面CMN． …………………………………… 14分
所以AB⊥平面CMN． …………………………………… 14分
17．（本小題滿分14分）
解：（1）設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q．
由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d．……………………………… 3分
由條件a4＋b4＝21，S4＋b4＝30，得方程組8＋6d＋2q3＝30，2＋3d＋2q3＝21，解得q＝2．d＝1，
所以an＝n＋1，bn＝2n，n∈N*． ……………………………… 7分
?。?）由題意知，cn＝(n＋1)×2n．
記Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn．
則Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
?。?×2＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1 ＋(n＋1)×2n，
2 Tn＝ 2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n＋ (n＋1)2n＋1，
所以－Tn＝2×2＋(22＋23＋…＋2n )－(n＋1)×2n＋1， …………………………… 11分
即Tn＝n·2n＋1，n∈N*． ……………………………… 14分
18．（本小題滿分16分）
解：（1）記橢圓C的半焦距為c．
由題意，得b＝1，ac＝23，c2＝a2＋b2，
解得a＝2，b＝1． ……………………………………………… 4分
?。?）由（1）知，橢圓C的方程為4x2＋y2＝1，圓C1的方程為x2＋y2＝5．
顯然直線l的斜率存在．
設直線l的方程為y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0．…………………………………… 6分
因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點，
故方程組4x2＋y2＝1x2 （*） 有且只有一組解．
由（*）得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0．
從而△＝(8km)2－4(1＋4k2)( 4m2－4)＝0．
化簡，得m2＝1＋4k2．① ………………………………………… 10分
因為直線l被圓x2＋y2＝5所截得的弦長為2，
所以圓心到直線l的距離d＝5－2＝．
即＝． ② ……………………………………… 14分
由①②，解得k2＝2，m2＝9．
因為m＞0，所以m＝3． ……………………………………… 16分
19．（本小題滿分16分）
解：（方法一）
如圖1，以A為原點，AB為x軸，建立平面直角坐標系．
因為tanα＝－2，故直線AN的方程是y＝－2x．
設點P(x0，y0)．
因為點P到AM的距離為3，故y0＝3．
由P到直線AN的距離為，
得5∣2x0＋y0∣5∣2x0＋y0∣＝，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，
所以點P(1，3)． ……………………………… 4分
顯然直線BC的斜率存在．設直線BC的方程為y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．
令y＝0得xB＝1－k3． ……………………………… 6分
由y＝－2xx－1，解得yC＝k＋26－2k． ……………………………… 8分
設△ABC的面積為S，則S＝21×xB×yC＝k2＋2k－k2＋6k－9＝－1＋k2＋2k8k－9． …………… 10分
由S¢＝ 2k－3＝0得k＝－43或k＝3．
當－2＜k＜－43時，S¢＜0，S單調遞減；當－43＜k＜0時，S¢＞0，S單調遞增．… 13分
所以當k＝－43時，即AB＝5時，S取極小值，也為最小值15．
答：當AB＝5km時，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15km2．…………… 16分
?。ǚ椒ǘ?/p>
如圖1，以A為原點，AB為x軸，建立平面直角坐標系．
因為tanα＝－2，故直線AN的方程是y＝－2x．
設點P(x0，y0)．
因為點P到AM的距離為3，故y0＝3．
由P到直線AN的距離為，
得5∣2x0＋y0∣5∣2x0＋y0∣＝，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，
所以點P(1，3)． ……………………………… 4分
顯然直線BC的斜率存在．設直線BC的方程為y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．
令y＝0得xB＝1－k3． ……………………………… 6分
由y＝－2xx－1，解得yC＝k＋26－2k． ……………………………… 8分
設△ABC的面積為S，則S＝21×xB×yC＝k2＋2k－k2＋6k－9＝－1＋k2＋2k8k－9． …………… 10分
令8k－9＝t，則t∈(－25，－9)，從而k＝8t＋9．
因此S＝－1＋8t＋98t＋98t＋9＝－1＋t2＋34t＋22564t＝－1＋t225t225．……… 13分
因為當t∈(－25，－9)時，t＋t225∈(－34，－30]，
當且僅當t＝－15時，此時AB＝5，34＋t＋t225的值為4．從而S有最小值為15．
答：當AB＝5km時，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15km2．…………… 16分
?。ǚ椒ㄈ?/p>
如圖2，過點P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足為E、F，連接PA．設AB＝x，AC＝y(tǒng)．
因為P到AM，AN的距離分別為3，，
即PE＝3，PF＝．
由S△ABC＝S△ABP＋S△APC
?。?1×x×3＋21×y× ＝21(3x＋y)． ① …… 4分
因為tana＝－2，所以sina＝5252．
所以S△ABC＝21×x×y× 5252． ② ……………………………………… 8分
由①②可得21×x×y× 5252＝21(3x＋y)．
即3x＋5y＝2xy． ③ ………………………………………10分
因為3x＋5y≥2，所以 2xy≥2．
解得xy≥15． ………………………………………13分
當且僅當3x＝5y取“＝”，結合③解得x＝5，y＝3．
所以S△ABC＝21×x×y× 5252有最小值15．
答：當AB＝5km時，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15km2．…………… 16分
20．（本小題滿分16分）
解：（1）當a＝－1，x[0，＋∞)時，f(x)＝－x3＋x＋1，從而f ′(x)＝－3x2＋1．
當x＝1時，f(1)＝1，f ′(1)＝－2，
所以函數y＝f(x) (x[0，＋∞))的圖象在x＝1處的切線方程為y－1＝－2(x－1)，
即2x＋y－3＝0． ………………………………………………… 3分
?。?）f(x)＝g(x)即為ax3＋|x－a|＝x4．
所以x4－ax3＝|x－a|，從而x3(x－a)＝|x－a|．
此方程等價于x＝a或x＝1x＞a，或x＝－1．x＜a， ………………………………………… 6分
所以當a≥1時，方程f(x)＝g(x)有兩個不同的解a，－1；
當－1＜a＜1時，方程f(x)＝g(x)有三個不同的解a，－1，1；
當a≤－1時，方程f(x)＝g(x)有兩個不同的解a，1． ………………………… 9分
?。?）當a＞0，x(a，＋∞)時，f(x)＝ax3＋x－a，f ′(x)＝3ax2＋1＞0，
所以函數f(x)在(a，＋∞)上是增函數，且f(x)＞f(a)＝a4＞0．
所以當x[a，a＋2]時，f(x)[f(a)，f(a＋2)]，x1024[a＋21024，a1024]，
當x[a＋2，＋∞)時，f(x)[ f(a＋2)，＋∞)． ………………………………… 11分
因為對任意的x1[a，a＋2]，都存在x2[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，
所以[a＋21024，a1024][ f(a＋2)，＋∞)． ……………………………………… 13分
從而a＋21024≥f(a＋2)．
所以f 2(a＋2)≤1024，即f(a＋2)≤32，也即a(a＋2)3＋2≤32．
因為a＞0，顯然a＝1滿足，而a≥2時，均不滿足．
所以滿足條件的正整數a的取值的集合為{1}． ……………………………… 16分
宿遷市三校2016屆高三學情調研數學試卷及答案（附加題）
21．【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．
A．選修4—1：幾何證明選講
證明：連接AO．設圓O的半徑為r．
因為PA是圓O的切線，PBC是圓O的割線，
所以PA2＝PC·PB．……………………………… 3分
因為PA＝4，PC＝2，
所以42＝2×(2＋2r)，解得r＝3．……………… 5分
所以PO＝PC＋CO＝2＋3＝5，AO＝r＝3．
由PA是圓O的切線得PA⊥AO，故在Rt△APO中，
因為AQ⊥PO，由面積法可知，21×AQ×PO＝21×AP×AO，
即AQ＝POAP×AO＝54×3＝512． …………………… 10分
B．選修4—2：矩陣與變換
解：（1）因為矩陣A＝31屬于特征值l的一個特征向量為α＝－1 1，
所以31－1 1＝l－1 1，即－22－b＝－ll． ……………………… 3分
從而－2＝－l．2－b＝l，解得b＝0，l＝2． ………………………… 5分
?。?）由（1）知，A＝31．
設曲線C上任一點M(x，y)在矩陣A對應的變換作用后變?yōu)榍€C¢上一點P(x0，y0)，
則y0x0＝31yx＝x＋3y2x，
從而y0＝x＋3y．x0＝2x， …………………………… 7分
因為點P在曲線C¢上，所以x02＋2y02＝2，即(2x)2＋2(x＋3y)2＝2，
從而3x2＋6xy＋9y2＝1．
所以曲線C的方程為3x2＋6xy＋9y2＝1． ……………………………… 10分
C．選修4—4：坐標系與參數方程
解：（方法一）
直線l的普通方程為x－y＋＝0． …………………………………… 3分
因為點P在圓C上，故設P(＋cosθ，sinθ)，
從而點P到直線l的距離
d＝＝6π2|． …………………… 7分
所以dmin＝－1．
即點P到直線l的距離的最小值為－1． ……………………………… 10分
(方法二)
直線l的普通方程為x－y＋＝0． ……………………………… 3分
圓C的圓心坐標為(，0)，半徑為1．
從而圓心C到直線l的距離為d＝＝． ………………………… 6分
所以點P到直線l的距離的最小值為－1． ………………………… 10分
D．選修4—5：不等式選講
證明：因為a，b是正數，且a＋b＝1，
所以(ax＋by)(bx＋ay)＝abx2＋(a2＋b2)xy＋aby2
?。絘b(x2＋y2)＋(a2＋b2)xy …………………………… 3分
≥ab×2xy＋(a2＋b2)xy ……………………………… 8分
＝(a＋b)2xy
?。絰y
即(ax＋by)(bx＋ay)≥xy成立． ……………………………… 10分
【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分．
22．解：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
由題設，知B(2，3，0)，A1(2，0，5)，C(0，3，0)，C1(0，3，5)．
因為→CE＝λ→CC1，所以E(0，3，5λ)．
從而→EB＝(2，0，－5λ)，→EA1＝(2，－3，5－5λ)．…… 2分
當∠BEA1為鈍角時，cos∠BEA1＜0，
所以→EB·→EA1＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0，
解得51＜λ＜54．
即實數λ的取值范圍是(51，54)． …………………………………… 5分
?。?）當λ＝52時，→EB＝(2，0，－2)，→EA1＝(2，－3，3)．
設平面BEA1的一個法向量為n1＝(x，y，z)，
由→EB→EA1＝0EA1 得2x－3y＋3z＝0，2x－2z＝0，
取x＝1，得y＝35，z＝1，
所以平面BEA1的一個法向量為n1＝(1，35，1)． ………………………………… 7分
易知，平面BA1B1的一個法向量為n2＝(1，0，0)．
因為cos< n1，n2>＝| n1|·| n2|n1·n2＝943943943＝4343，
從而|cosθ|＝4343． …………………………………… 10分
23．解：（1）因為P(X＝10)＝5252＝101，P(X＝5)＝315252＝103，
P(X＝2)＝325252＝103，P(X＝0) ＝315252＝103，
所以X的概率分布表為：
X
10
5
2
P
101
103
103
103
…………………………… 4分
從而E(X)＝10´101＋5´103＋2´103＋0´103＝3.1元． …………………………… 6分
?。?）記該顧客一次摸球中獎為事件A，由（1）知，P(A)＝107，
從而他兩次摸球中至少有一次中獎的概率P＝1－[1－P(A)]2＝10091．
答：他兩次摸球中至少有一次中獎的概率為 10091． …………………………… 10分．
