一、選擇題
1.已知等比數列{an}，且a4+a8=
dx，則a6(a2+2a6+a10)的值為()
A.π2 B.4
C.π D.-9π
答案：A 命題立意：本題考查等比數列的性質及定積分的運算，正確地利用定積分的幾何意義求解積分值是解答本題的關鍵，難度中等.
解題思路：由于dx表示圓x2+y2=4在第一象限內部分的面積，故dx=×π×22=π，即a4+a8=π，又由等比數列的性質，得a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a+a6a10=a+2a4a8+a=(a4+a8)2=π2，故選A.
2.(東北三校二次聯考)已知{an}是等差數列，Sn為其前n項和，若S21=S4 000，O為坐標原點，點P(1，an)，點Q(2 011，a2 011)，則·=()
A.2 011 B.-2 011
C.0 D.1
答案：A 命題立意：本題考查等差數列前n項和公式與性質及平面向量的坐標運算，難度中等.
解題思路：由已知S21=S4 000a22+a23+…+a4 000==3 979a2 011=0，故有a2 011=0，
因此·=2 011+ana2 011=2 011，故選A.
3.以雙曲線-=1的離心率為首項，以函數f(x)=4x-2的零點為公比的等比數列的前n項的和Sn=()
A.3×(2n-1) B.3-(2n-1)
C.- 3×(2n-1) D.-3+(2n-1)
答案：B 命題立意：本題考查雙曲線的離心率及函數的零點與等比數列前n項和公式的應用，難度較小.
解題思路：由雙曲線方程易得e==，函數零點為，故由公式可得Sn==3=3-，故選B.
4.等差數列{an}的前n項和為Sn，若a4=15，S5=55，則過點P(3，a3)，Q(4，a4)的直線的斜率為()
A.4 B.1
C.-4 D.-14
答案：A 命題立意：本題考查等差數列的性質、前n項和及直線斜率的坐標計算形式，難度較小.
解題思路：由題S5==55，故a1+a5=22，根據等差數列的性質可知a1+a5=2a3=22，故a3=11，因為a4=15，則過點P(3，a3)，Q(4，a4)的直線的斜率為kPQ===4，故選A.
5.在等比數列{an}中，對于n∈N*都有an+1·a2n=3n，則a1·a2·…·a6=()
A.±()11 B.()13
C.±35 D.36
答案：D 命題立意：本題考查數列的遞推公式、等比數列的性質及整體代換思想，考查考生的運算能力，難度中等.
解題思路：由等比數列的性質可知，a1·a2·a3·a4·a5·a6=(a2·a6)·a4·(a1·a5)·a3=(a3)3(a4)3=(a3·a4)3，令n=2，得a3·a4=32，故選D.
6.等差數列{an}的前n項和為Sn，公差為d，已知(a8+1)3+2 013(a8+1)=1，(a2 006+1)3+2 013(a2 006+1)=-1，則下列結論正確的是()
A.d0，S2 013=2 013
C.d0，S2 013=-2 013
答案：C 命題立意：本題考查函數的性質——單調性與奇偶性、等差數列的性質與前n項和公式，難度中等.
解題思路：記f(x)=x3+2 013x，則函數f(x)是在R上的奇函數與增函數;依題意有f(a8+1)=-f(a2 006+1)=1>f(0)=0，即f(a8+1)=f[-(a2 006+1)]=1，a8+1=-(a2 006+1)，a8+1>0>a2 006+1即a8>a2 006，d=c，因此有2a=3c，故=.三、解答題
11.已知函數f(x)=x2+bx為偶函數，數列{an}滿足an+1=2f(an-1)+1，且a1=3，an>1.
(1)設bn=log2(an-1)，求證：數列{bn+1}為等比數列;
(2)設cn=nbn，求數列{cn}的前n項和Sn.
命題立意：本題主要考查函數的性質，數列的通項公式和前n項和公式等知識.解題時，首先根據二次函數的奇偶性求出b值，確定數列通項的遞推關系式，然后由等比數列的定義證明數列{bn+1}為等比數列，這樣就求出數列{bn}的通項公式，進一步就會求出數列{cn}的通項公式，從而確定數列{cn}的前n項和Sn的計算方法.
解析：(1)證明： 函數f(x)=x2+bx為偶函數，
b=0， f(x)=x2，
an+1=2f(an-1)+1=2(an-1)2+1，
an+1-1=2(an-1)2.
又a1=3，an>1，bn=log2(an-1)，
b1=log2(a1-1)=1，
====2，
數列{bn+1}是首項為2，公比為2的等比數列.
(2)由(1)，得bn+1=2n， bn=2n-1，
cn=nbn=n2n-n.
設An=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，
則2An=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1，
-An=2+22+23+…+2n-n×2n+1
=-n×2n+1=2n+1-n×2n+1-2，
An=(n-1)2n+1+2.
設Bn=1+2+3+4+…+n，則Bn=，
Sn=An-Bn=(n-1)2n+1+2-.
12.函數f(x)對任意xR都有f(x)+f(1-x)=1.
(1)求f的值;
(2)數列{an}滿足：an=f(0)+f+f+…+f+f(1)，求an;
(3)令bn=，Tn=b+b+…+b，Sn=8-，試比較Tn與Sn的大小.
解析：(1)令x=，
則有f+f=f+f=1.
f=.
(2)令x=，得f+f=1，
即f+f=1.
an=f(0)+f+f+…+f+f(1)，
an=f(1)+f+f+…+f+f(0).
兩式相加，得
2an=[f(0)+f(1)]++…+[f(1)+f(0)]=n+1，
an=，nN*.
(3)bn==，
當n=1時，Tn=Sn;
當n≥2時，
Tn=b+b+…+b
=4
0;
當n≥3時，bn+1-bn
