江西三校2016屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題及答案
江西省三校（吉水中學(xué)、崇仁一中、南城一中）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，則滿足A∪B＝{0，1，2}的集合B的個數(shù)為（）
A．3B．4C．7D．8
2.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）
A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
3．執(zhí)行如圖1所示的程序框圖，則輸出的n值為（）
A．4B．5C．6D．7
4.已知正項等差數(shù)列滿足，則的最小值為（）
A.1B.2C.2013D.2014
5．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點（如圖2），用過點A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的左視圖為（）
A. B. C. D.
6.若關(guān)于x的不等式的解集為空集，則實數(shù)a的取值范圍是()
A． B．(-1,0)C．(0,1) D．(1,2)
7.設(shè)則二項式的展開式的常數(shù)項是（）
A．12 B．6 C．4 D．1
8．設(shè)是的一個排列，把排在的左邊且比小的數(shù)的個數(shù)為（=1，2，…，n）的順序數(shù)，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的順序數(shù)為1,3的順序數(shù)為0，則在1至8這8個數(shù)的排列中，8的順序數(shù)為2，7的順序數(shù)為3，5的順序數(shù)為3的不同排列的種數(shù)為（）
A．48B．120C．144D．192
9.已知函數(shù)的圖象過點，若有4個不同的正數(shù)滿足，且，則等于（）
A．12B．20 C．12或20 D．無法確定
10．已知、、均為單位向量，且滿足·=0，則（++）·（+）的值是（）
A．2+2 B．3+ C．2+ D．1+2
11.如圖，已知雙曲線的左右焦點分別為F1、F2，|F1F2|=2，P是雙曲線右支上的一點，PF1⊥PF2，F(xiàn)2P與y軸交于點A，△APF1的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率是（）
A．B．C． D．
12.已知函數(shù)定義域為，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，，（其中是的導(dǎo)函數(shù)），若，則的大小關(guān)系是（）
A.B.C.D.
二、填空題:(本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在答題紙的相應(yīng)位置上)
13．實數(shù)x，y滿足如果目標(biāo)函數(shù)z=x—y的最小值為-2，則實數(shù)m的值為。
14.已知，，若同時滿足條件
?、?img alt="2016年江西三校高考數(shù)學(xué)模擬試題（理科）1" src="/pic/2022/09/12/aktyqvqmdvw.png">，或；②,.
則m的取值范圍是______________.
15._____________________.
16.已知定義域為的函數(shù)滿足：（1）對任意，恒有成立；（2）當(dāng)時，.給出如下結(jié)論：①對任意，有；②函數(shù)的值域為；③存在，使得；④“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在，使得”.其中所有正確結(jié)論的序號是.
三、解答題(本大題6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，并把解答寫在答卷紙的相應(yīng)位置上)
17.(本小題滿分12分)已知集合
?、?img alt="2016年江西三校高考數(shù)學(xué)模擬試題（理科）1" src="/pic/2022/09/12/aktyqvqmdvw.png">能否相等？若能，求出實數(shù)的值，若不能，試說明理由？
?、迫裘}命題且是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.
18.(本小題滿分12分)高考數(shù)學(xué)考試中共有12道選擇題，每道選擇題都有4個選項，其中有且僅有一個是正確的。評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“在每小題給出的上個選項中，只有一項是符合題目要求的，答對得5分，不答或答錯得0分”。某考生每道選擇都選出一個答案，能確定其中有8道題的答案是正確的，而其余題中，有兩道題都可判斷出兩個選項錯誤的，有一道題可能判斷一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只能亂猜。試求出該考生的選擇題：
?、诺?0分的概率；
?、频枚嗌俜值母怕剩?/p>
19.(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐中，底面是矩形．已知．
?、徘螽惷嬷本€與所成的角的余弦值；
?、魄蠖娼?img alt="2016年江西三校高考數(shù)學(xué)模擬試題（理科）1" src="/pic/2022/09/12/aktyqvqmdvw.png">的正切值．
20.(本小題滿分12分)已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中。如圖，設(shè)點，，是相應(yīng)橢圓的焦點，，和，是“果圓”與，軸的交點，
?、湃羧切?img alt="2016年江西三校高考數(shù)學(xué)模擬試題（理科）1" src="/pic/2022/09/12/aktyqvqmdvw.png">是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；
⑵若，求的取值范圍；
⑶一條直線與果圓交于兩點，兩點的連線段稱為果圓的弦。是否存在實數(shù)，使得斜率為的直線交果圓于兩點，得到的弦的中點的軌跡方程落在某個橢圓上？若存在，求出所有的值；若不存在，說明理由。
21.(本小題滿分12分)已知函數(shù).
⑴求函數(shù)的最小值；
⑵若≥0對任意的恒成立，求實數(shù)的值；
?、窃冢?）的條件下，證明：
請考生在（22）.（23）.（24）三題中任選一題作答，如果多答，則按做的第一題記分．作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)題號右側(cè)的方框涂黑．
22．(本小題滿分10分)選修4—1：幾何證明選講
如圖，直線為圓的切線，切點為，直徑，連接
交于點.
?、抛C明：；
?、魄笞C：．
23．(本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為,過點(-2，-4)的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線與曲線相交于兩點．
⑴寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；
⑵若，求的值．
24．(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講
已知函數(shù).
?、徘笫共坏仁?img alt="2016年江西三校高考數(shù)學(xué)模擬試題（理科）1" src="/pic/2022/09/12/aktyqvqmdvw.png">成立的的取值范圍；
?、?img alt="2016年江西三校高考數(shù)學(xué)模擬試題（理科）1" src="/pic/2022/09/12/aktyqvqmdvw.png">，，求實數(shù)的取值范圍．
江西三校2016屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題答案
一、選擇題：共12小題，每小題5分，滿分60分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
D
B
C
B
B
C
C
C
B
B
二、填空題：共4小題，每小題5分，共20分．
13.814．(-4,-2)15．16．①②④
三、解答題：共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17.解析：(1)當(dāng)時當(dāng)時顯然
故時，…………6分
?。?）
當(dāng)時，則解得
當(dāng)時，則
綜上是的充分不必要條件，實數(shù)的取值范圍是或…………12分
18．解析：（1）要得60分，必須12道選擇題全答對
依題意，易知在其余的四道題中，有兩道題答對的概率各為，有一道題答對的概率為，還有一道題答對的概率為，所以他做選擇題得60分的概率為：
…………5分
?。?）依題意，該考生選擇題得分的可能取值有：40，45，50，55，60共五種
得分為40，表示只做對有把握的那8道題，其余各題都做錯，于是其概率為：
類似的，可知得分為45分的概率：
得分為50的概率：得分為55的概率：
得分為60的概率：
該生選擇題得分為45分或50分的可能性。-------------------12分
19．解析：（Ⅰ）在中，由題設(shè)可得
于是.在矩形中，.又，
所以平面．
由題設(shè)，，所以（或其補角）是異面直線與所成的角.
在中，由余弦定理得
由平面，平面，
所以，因而，于是是直角三角形，故．
所以異面直線與所成的角的余弦值為．…………6分
（Ⅱ）過點P做于H，過點H做于E，連結(jié)PE
因為平面，平面，所以.又，
因而平面，故HE為PE再平面ABCD內(nèi)的射影.由三垂線定理可知，
，從而是二面角的平面角。
由題設(shè)可得，
于是再中，
所以二面角的正切值為．…………12分
（用空間向量坐標(biāo)法或其它方法，可以相應(yīng)給分）
20．解析：⑴，
，
于是，所求“果圓”方程為，…………4分
?、朴深}意，得，即．
，，得．
又．．…………7分
⑶設(shè)“果圓”的方程為，．
記平行弦的斜率為．
當(dāng)時，直線與半橢圓的交點是
，與半橢圓的交點是．
的中點滿足得．
，．
綜上所述，當(dāng)時，“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上．
當(dāng)時，以為斜率過的直線與半橢圓的交點是．
由此，在直線右側(cè)，以為斜率的平行弦的中點軌跡在直線上，即不在某一橢圓上．
當(dāng)時，可類似討論得到平行弦中點軌跡不都在某一橢圓上．…………12分
21．解析：（1）由題意，
由得.
當(dāng)時,；當(dāng)時，.
∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
即在處取得極小值，且為最小值，
其最小值為………………4分
?。?）對任意的恒成立，即在上，.
由（1），設(shè)，所以.
由得.
易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴在處取得值，而.
因此的解為，∴. ………………8分
?。?）由（2）知，對任意實數(shù)均有，即.
令，則.
∴.
∴
.……………………12分
22．證明：(1)∵直線PA為圓O的切線,切點為A
∴∠PAB=∠ACB…………………………………………2分
∵BC為圓O的直徑，∴∠BAC=90°
∴∠ACB=90°-B
∵OB⊥OP,∴∠BDO=90°-B……………………………4分
又∠BDO=∠PDA,∴∠PAD=∠PDA=90°-B
∴PA=PD…………………………………………………5分
(2)連接OA,由(1)得∠PAD=∠PDA=∠ACO
∵∠OAC=∠ACO
∴ΔPAD∽ΔOCA………………………………………8分
∴OCPA=ACAD∴PA×AC=AD×OC………………………………………10分
23.解析：(1)由ρsin2θ=2acosθ(a>0)得ρ2sin2θ=2aρcosθ(a>0)
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=2ax(a>0)………………………2分
直線l的普通方程為y=x-2…………………………………4分
(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程y2=2ax中，
得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0
設(shè)A、B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2
則有t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)……………………………6分
∵|PA|×|PB|=|AB|2
∴t1t2=(t1-t2)2,即(t1+t2)2=5t1t2………………………………8分
∴2=40(4+a)a2+3a-4=0
解之得：a=1或a=-4(舍去)
∴a的值為1…………………………………………………10分
24.解析：(1)由絕對值的幾何意義可知x的取值范圍為（-2，4）………5分
（Ⅱ）x0ÎR,f(x0)f(x)min……………………………………7分
由絕對值的幾何意義知：|x－3|＋|x＋1|可看成數(shù)軸上到3和-1對應(yīng)點的距離和.
∴f(x)min=4…………………………………………………9分
∴a>4
所求a的取值范圍為(4,+∞)…………………………………………10分
