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必修一數(shù)學(xué)人教版第一章知識點

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函數(shù)的兩個定義本質(zhì)是相同的,只是敘述概念的出發(fā)點不同,傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動變化的觀點出發(fā),而近代定義是從集合、映射的觀點出發(fā)。下面是小編整理的數(shù)學(xué)必修一第二章函數(shù)知識點,僅供參考希望能夠幫助到大家。

數(shù)學(xué)必修一第二章函數(shù)知識點

1.函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域.

注意:如果只給出解析式y(tǒng)=f(x),而沒有指明它的定義域,則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合;函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.

定義域補(bǔ)充

能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域,求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零; (3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零;(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零 (6)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.

(又注意:求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)

構(gòu)成函數(shù)的三要素:定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域

注意:(1)構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的,所以,如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一函數(shù))(2)兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法:①表達(dá)式相同;②定義域一致 (兩點必須同時具備) (見課本21頁相關(guān)例2)

2值域補(bǔ)充

(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則,不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域. (2).應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域,它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。

3. 函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù) y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點P(x,y)的集合C,叫做函數(shù) y=f(x),(x ∈A)的圖象.

集合C上每一點的坐標(biāo)(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(x,y),均在C上 . 即記為C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A },圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。

(2) 畫法

A、描點法:根據(jù)函數(shù)解析式和定義域,求出x,y的一些對應(yīng)值并列表,以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點P(x, y),最后用平滑的曲線將這些點連接起來.

B、圖象變換法(請參考必修4三角函數(shù))

常用變換方法有三種,即平移變換、伸縮變換和對稱變換

(3)作用:

1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì);2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。

4.了解區(qū)間的概念

(1)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間;(2)無窮區(qū)間;(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.

5.什么叫做映射

一般地,設(shè)A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng), 那么就稱對應(yīng)f:A→ B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f:A→ B”

給定一個集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應(yīng),那么,我們把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象

說明:函數(shù)是一種特殊的映射,映射是一種特殊的對應(yīng),①集合A、B及對應(yīng)法則f是確定的;②對應(yīng)法則有“方向性”,即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng),它與從B到A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的;③對于映射f:A→B來說,則應(yīng)滿足:(Ⅰ)集合A中的每一個元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個;(Ⅲ)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點:

1 函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線,也可以是直線、折線、離散的點等等,注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù);2 解析法:必須注明函數(shù)的定義域;3 圖象法:描點法作圖要注意:確定函數(shù)的定義域;化簡函數(shù)的解析式;觀察函數(shù)的特征;4 列表法:選取的自變量要有代表性,應(yīng)能反映定義域的特征.

解析法:便于算出函數(shù)值。列表法:便于查出函數(shù)值。圖象法:便于量出函數(shù)值.

補(bǔ)充一:分段函數(shù) (參見課本P24-25)

在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程,而就寫函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個左大括號括起來,并分別注明各部分的自變量的取值情況.(1)分段函數(shù)是一個函數(shù),不要把它誤認(rèn)為是幾個函數(shù);(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集.

補(bǔ)充二:復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 稱為f、g 的復(fù)合函數(shù)。

例如: y=2sinx y=2cos(2x+1)

7.函數(shù)單調(diào)性

(1).增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量a,b,當(dāng)a

如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值a,b,當(dāng)af(b),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.

注意:1 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì),是函數(shù)的局部性質(zhì);

2 必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量a,b;當(dāng)a

(2) 圖象的特點

如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減 函數(shù)的圖象從左到右是下降的.

(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

(A) 定義法:任取a,b∈D,且a

(B)圖象法(從圖象上看升降)_

(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)

注意:1、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集. 2、還記得我們在選修里學(xué)習(xí)簡單易行的導(dǎo)數(shù)法判定單調(diào)性嗎?

8.函數(shù)的奇偶性

(1)偶函數(shù)

一般地,對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數(shù).

(2).奇函數(shù)

一般地,對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函數(shù).

注意:1、 函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì);函數(shù)可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。

2、 由函數(shù)的奇偶性定義可知,函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是,對于定義域內(nèi)的任意一個x,則-x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量(即定義域關(guān)于原點對稱).

3、具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.

總結(jié):利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟:1 首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱;2 確定f(-x)與f(x)的關(guān)系;3 作出相應(yīng)結(jié)論:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,則f(x)是偶函數(shù);若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,則f(x)是奇函數(shù).

注意:函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱,若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱,(1)再根據(jù)定義判定; (2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難,可考慮根據(jù)是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定; (3)利用定理,或借助函數(shù)的圖象判定 .

9、函數(shù)的解析表達(dá)式

(1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法,要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時,一是要求出它們之間的對應(yīng)法則,二是要求出函數(shù)的定義域.

(2).求函數(shù)的解析式的主要方法有:待定系數(shù)法、換元法、消參法等,如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時,可用待定系數(shù)法;已知復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的表達(dá)式時,可用換元法,這時要注意元的取值范圍;當(dāng)已知表達(dá)式較簡單時,也可用湊配法;若已知抽象函數(shù)表達(dá)式,則常用解方程組消參的方法求出f(x)

10.函數(shù)最大(小)值(定義見課本p36頁)

(1)、 利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值. (2)、 利用圖象求函數(shù)的最大(小)值 (3)、 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b);

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法

1.抓住重點聽講

上課前我是一定要預(yù)習(xí)的,有時間就看的仔細(xì)些,老師要講什么內(nèi)容,有什么定義、定理和公式我先都記住,再看一些例題去理解定義和定理的應(yīng)用,腦子里會形成那些我明白了,那些不理解,記在本子上。上課的時候,老師嘴一張開我就知道老師要講什么了,會的我就看自己的書,不會的我就仔細(xì)聽講。

我善于抓住重點去聽講,記的時候,我看其他同學(xué)是什么都記,我不是,凡是書上有的內(nèi)容我從不記,比如定義、定理和公式和書上的例題。我只記一些書上沒有的內(nèi)容,我不會的內(nèi)容,還有老師說這是重點或難點的內(nèi)容。我經(jīng)常在書上做一些紀(jì)錄,我的書看完是滿書涂鴉,不適合別人看了,以后自己一翻書,我就會從我的紀(jì)錄上回憶這一節(jié)的全部內(nèi)容,一翻書就回憶,經(jīng)常翻就記的很牢了。

2.多看輔導(dǎo)書

老師布置的作業(yè)我肯定都要做完,但我不會滿足于老師布置的作業(yè),我還要看一些輔導(dǎo)書籍,做一些輔導(dǎo)書籍上的作業(yè),直到我能理解定義、定理和公式的含義,一道題盡量用多種辦法去解題,做到舉一反三。我經(jīng)常買和課程有關(guān)的輔導(dǎo)書籍看,每一門課程我都有好幾本相關(guān)的輔導(dǎo)書籍。

數(shù)學(xué)集合知識點

集合具有某種特定性質(zhì)的事物的總體。這里的“事物”可以是人,物品,也可以是數(shù)學(xué)元素。例如:1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集:緊急~。2、數(shù)學(xué)名詞。一組具有某種共同性質(zhì)的數(shù)學(xué)元素:有理數(shù)的~。3、口號等等。集合在數(shù)學(xué)概念中有好多概念,如集合論:集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念,專門研究集合的理論叫做集合論??低?Cantor,G.F.P.,1845年—1918年,德國數(shù)學(xué)家先驅(qū),是集合論的創(chuàng)始者,目前集合論的基本思想已經(jīng)滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。

集合,在數(shù)學(xué)上是一個基礎(chǔ)概念。什么叫基礎(chǔ)概念?基礎(chǔ)概念是不能用其他概念加以定義的概念。集合的概念,可通過直觀、公理的方法來下“定義”。

集合是把人們的直觀的或思維中的某些確定的能夠區(qū)分的對象匯合在一起,使之成為一個整體(或稱為單體),這一整體就是集合。組成一集合的那些對象稱為這一集合的元素(或簡稱為元)。

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