數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學(xué)，接下來(lái)小編在這里給大家分享一些關(guān)于北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，供大家學(xué)習(xí)和參考，希望對(duì)大家有所幫助。

北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

第一章 特殊平行四邊形

1.1菱形的性質(zhì)與判定

菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

※菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì),且四條邊都相等,兩條對(duì)角線互相垂直平分,每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

菱形是軸對(duì)稱圖形，每條對(duì)角線所在的直線都是對(duì)稱軸。

※菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

四條邊都相等的四邊形是菱形。

1.2 矩形的性質(zhì)與判定

※矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。

※矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角。(矩形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸)

※矩形的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形(根據(jù)定義)。

對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。

四個(gè)角都相等的四邊形是矩形。

※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

1.3 正方形的性質(zhì)與判定

正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。(正方形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸)

※正方形常用的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形;

鄰邊相等的矩形是正方形;

對(duì)角線相等的菱形是正方形;

對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系(如圖3所示)：

※梯形定義：一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。

※兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。

※一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

※等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等，對(duì)角線相等。

同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

※夾在兩條平行線間的平行線段相等。

※在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半

第二章 一元二次方程

2.1 認(rèn)識(shí)一元二次方程

2.2 用配方法求解一元二次方程

2.3 用公式法求解一元二次方程

2.4 用因式分解法求解一元二次方程

2.5 一元二次方程的跟與系數(shù)的關(guān)系

2.6 應(yīng)用一元二次方程

※只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程，且都可以化為 (a、b、c為

常數(shù)，a≠0)的形式，這樣的方程叫一元二次方程。

※把 (a、b、c為常數(shù)，a≠0)稱為一元二次方程的一般形式，a為二次項(xiàng)系數(shù);b為一次項(xiàng)系數(shù);c為常數(shù)項(xiàng)。

※解一元二次方程的方法：①配方法 <即將其變?yōu)?的形式>

②公式法 (注意在找abc時(shí)須先把方程化為一般形式)

③分解因式法 把方程的一邊變成0，另一邊變成兩個(gè)一次因式的乘積來(lái)求解。(主要包括“提公因式”和“十字相乘”)

※配方法解一元二次方程的基本步驟：①把方程化成一元二次方程的一般形式;

②將二次項(xiàng)系數(shù)化成1;

③把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊;

④兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方;

⑤把方程轉(zhuǎn)化成 的形式;

⑥兩邊開(kāi)方求其根。

※根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根;

當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;

當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。

※如果一元二次方程 的兩根分別為x1、x2，則有： 。

※一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的作用：

(1)已知方程的一根，求另一根;

(2)不解方程，求二次方程的根x1、x2的對(duì)稱式的值，特別注意以下公式：

① ② ③

④ ⑤

⑥ ⑦其他能用 或 表達(dá)的代數(shù)式。

(3)已知方程的兩根x1、x2，可以構(gòu)造一元二次方程：

(4)已知兩數(shù)x1、x2的和與積，求此兩數(shù)的問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程 的根

※在利用方程來(lái)解應(yīng)用題時(shí)，主要分為兩個(gè)步驟：①設(shè)未知數(shù)(在設(shè)未知數(shù)時(shí)，大多數(shù)情況只要設(shè)問(wèn)題為x;但也有時(shí)也須根據(jù)已知條件及等量關(guān)系等諸多方面考慮);②尋找等量關(guān)系(一般地，題目中會(huì)含有一表述等量關(guān)系的句子，只須找到此句話即可根據(jù)其列出方程)。

※處理問(wèn)題的過(guò)程可以進(jìn)一步概括為：

第三章 概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)

3.1 用樹(shù)狀圖或表格求概率

3.2 用頻率估計(jì)概率

※在頻率分布表里，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做頻數(shù);

每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率; 即：

在頻率分布直方圖中，由于各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，而各組頻率的和等于1。因此，各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積的和等于1。

※頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)的頻率分布的兩種不同表示形式，前者準(zhǔn)確，后者直觀。

用一件事件發(fā)生的頻率來(lái)估計(jì)這一件事件發(fā)生的概率。

可用列表的方法求出概率，但此方法不太適用較復(fù)雜情況。

※假設(shè)布袋內(nèi)有m個(gè)黑球，通過(guò)多次試驗(yàn)，我們可以估計(jì)出布袋內(nèi)隨機(jī)摸出一球，它為白球的概率;

※要估算池塘里有多少條魚(yú)，我們可先從池塘里捉上100條魚(yú)做記號(hào)，再放回池塘，之后再?gòu)某靥林凶缴?00條魚(yú)，如果其中有10條魚(yú)是有標(biāo)記的，再設(shè)池塘共有x條魚(yú)，則可依照 估算出魚(yú)的條數(shù)。(注意估算出來(lái)的數(shù)據(jù)不是確切的，所以應(yīng)謂之“約是”)

※生活中存在大量的不確定事件，概率是描述不確定現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，它能準(zhǔn)確地衡量出事件發(fā)生的可能性的大小，并不表示一定會(huì)發(fā)生。

概率的求法：

(1)一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m個(gè)結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=

(2)、列表法

用列出表格的方法來(lái)分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

(3)樹(shù)狀圖法

通過(guò)列樹(shù)狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做樹(shù)狀圖法。

(當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)三個(gè)或更多的因素時(shí)，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹(shù)狀圖法求概率。)

第四章 圖形的相似

4.1 成正比線段

4.2 平行線段成比例

4.3 形似多邊形

4.4 探索三角形相似的條件

4.5 相似三角形判定定理的證明

4.6 利用相似三角形測(cè)高

4.7 相似三角形的性質(zhì)

4.8 圖形的位似

一. 線段的比

※1. 如果選用同一個(gè)長(zhǎng)度單位量得兩條線段AB, CD的長(zhǎng)度分別是m、n,那么就說(shuō)這兩條線段的比AB:CD=m:n ,或?qū)懗?.

※2. 四條線段a、b、c、d中,如果a與b的比等于c與d的比,即 ,那么這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段.

※3. 注意點(diǎn):

①a:b=k,說(shuō)明a是b的k倍;

②由于線段 a、b的長(zhǎng)度都是正數(shù),所以k是正數(shù);

③比與所選線段的長(zhǎng)度單位無(wú)關(guān),求出時(shí)兩條線段的長(zhǎng)度單位要一致;

④除了a=b之外,a:b≠b:a, 與 互為倒數(shù);

⑤比例的基本性質(zhì):若 , 則ad=bc; 若ad=bc, 則

二. 黃金分割

※1. 如圖1,點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果 ,那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割,點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn),AC與AB的比叫做黃金比.

※2.黃金分割點(diǎn)是美、最令人賞心悅目的點(diǎn).

四. 相似多邊形

¤1. 一般地,形狀相同的圖形稱為相似圖形.

※2. 對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.

五. 相似三角形

※1. 在相似多邊形中,最為簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的就是相似三角形.

※2. 對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.

※3. 全等三角形是相似三角的特例,這時(shí)相似比等于1. 注意:證兩個(gè)相似三角形,與證兩個(gè)全等三角形一樣,應(yīng)把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上.

※4. 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比,對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

※5. 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.

※6. 相似三角形面積的比等于相似比的平方.

六.探索三角形相似的條件

※1. 相似三角形的判定方法:

一般三角形 直角三角形

基本定理:平行于三角形的一邊且和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交的直線,所截得的三角形與原三角形相似.

①兩角對(duì)應(yīng)相等;

②兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且?jiàn)A角相等;

③三邊對(duì)應(yīng)成比例. ①一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等;

②兩條邊對(duì)應(yīng)成比例:

a. 兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例;

b. 斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)成比例.

※2. 平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

如圖2, l1 // l2 // l3,則 .

※3. 平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

八. 相似的多邊形的性質(zhì)

※相似多邊形的周長(zhǎng)等于相似比;面積比等于相似比的平方.

九. 圖形的放大與縮小

※1. 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn),那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形; 這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心; 這時(shí)的相似比又稱為位似比.

※2. 位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比.

◎3. 位似變換:

①變換后的圖形,不僅與原圖相似,而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),并且對(duì)應(yīng)點(diǎn)到這一交點(diǎn)的距離成比例.像這種特殊的相似變換叫做位似變換.這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心.

②一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)位似變換后得到另一個(gè)圖形,這兩個(gè)圖形就叫做位似形.

③利用位似的方法,可以把一個(gè)圖形放大或縮小.

第五章 投影與視圖

5.1 投影

5.2 視圖

※三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。

三視圖之間要保持長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等。一般地，俯視圖要畫(huà)在主視圖的下方，左視圖要畫(huà)在正視圖的右邊。

主視圖：基本可認(rèn)為從物體正面視得的圖象

俯視圖：基本可認(rèn)為從物體上面視得的圖象

左視圖：基本可認(rèn)為從物體左面視得的圖象

※視圖中每一個(gè)閉合的線框都表示物體上一個(gè)表面(平面或曲面)，而相連的兩個(gè)閉合線框一定不在一個(gè)平面上。

※在一個(gè)外形線框內(nèi)所包括的各個(gè)小線框，一定是平面體(或曲面體)上凸出或凹的各個(gè)小的平面體(或曲面體)。

※在畫(huà)視圖時(shí)，看得見(jiàn)的部分的輪廓線通常畫(huà)成實(shí)線，看不見(jiàn)的部分輪廓線通常畫(huà)成虛線。

物體在光線的照射下，會(huì)在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影。

太陽(yáng)光線可以看成平行的光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。

探照燈、手電筒、路燈的光線可以看成是從一點(diǎn)出發(fā)的，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影。

※區(qū)分平行投影和中心投影：①觀察光源;②觀察影子。

眼睛的位置稱為視點(diǎn);由視點(diǎn)發(fā)出的線稱為視線;眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。

※從正面、上面、側(cè)面看到的圖形就是常見(jiàn)的正投影，是當(dāng)光線與投影垂直時(shí)的投影。

①點(diǎn)在一個(gè)平面上的投影仍是一個(gè)點(diǎn);

②線段在一個(gè)面上的投影可分為三種情況：

線段垂直于投影面時(shí)，投影為一點(diǎn);

線段平行于投影面時(shí)，投影長(zhǎng)度等于線段的實(shí)際長(zhǎng)度;

線段傾斜于投影面時(shí)，投影長(zhǎng)度小于線段的實(shí)際長(zhǎng)度。

③平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況：

平面圖形和投影面平行的情況下，其投影為實(shí)際形狀;

平面圖形和投影面垂直的情況下，其投影為一線段;

平面圖形和投影面傾斜的情況下，其投影小于實(shí)際的形狀。

第六章 反比例函數(shù)

6.1 反比例函數(shù)

6.2 反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)

6.3 反比例函數(shù)的應(yīng)用

※反比例函數(shù)的概念：一般地， (k為常數(shù)，k≠0)叫做反比例函數(shù)，即y是x的反比例函數(shù)。 (x為自變量，y為因變量，其中x不能為零)

※反比例函數(shù)的等價(jià)形式：y是x的反比例函數(shù) ←→ ←→ ←→ ←→ 變量y與x成反比例，比例系數(shù)為k.

※判斷兩個(gè)變量是否是反比例函數(shù)關(guān)系有兩種方法：①按照反比例函數(shù)的定義判斷;②看兩個(gè)變量的乘積是否為定值<即 >。(通常第二種方法更適用)

※反比例函數(shù)的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線

※反比例函數(shù)的畫(huà)法的注意事項(xiàng)：①反比例函數(shù)的圖象不是直線，所“兩點(diǎn)法”是不能畫(huà)的;

②選取的點(diǎn)越多畫(huà)的圖越準(zhǔn)確;

③畫(huà)圖注意其美觀性(對(duì)稱性、延伸特征)。

※反比例函數(shù)性質(zhì)：

①當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于一、三象限;在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小;

②當(dāng)k<0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于二、四象限;在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大;

③雙曲線的兩支會(huì)無(wú)限接近坐標(biāo)軸(x軸和y軸)，但不會(huì)與坐標(biāo)軸相交。

※反比例函數(shù)圖象的幾何特征:(如圖4所示)

點(diǎn)P(x,y)在雙曲線上都有

北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法

養(yǎng)成良好的課前和課后學(xué)習(xí)習(xí)慣：在當(dāng)前高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)正確的學(xué)習(xí)習(xí)慣是一項(xiàng)重要的學(xué)習(xí)技能。雖然有一種刻板印象的猜疑，但在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真的是反復(fù)嘗試和錯(cuò)誤的。學(xué)生們不得不預(yù)習(xí)課本。我準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)教科書(shū)不是簡(jiǎn)單的閱讀，而是一個(gè)例子，至少十分鐘的思考。在使用前不能通過(guò)學(xué)習(xí)知識(shí)解決問(wèn)題的情況下，可以在教學(xué)內(nèi)容中找到答案，然后在教材中考察問(wèn)題的解決過(guò)程，掌握解決問(wèn)題的思路。同時(shí)，在課堂上安排筆記也是必要的。在高中數(shù)學(xué)研究中，建議采用兩種形式的筆記，一種是課堂速記，另一種是課后筆記。這不僅提高了課堂記憶的吸收能力，而且有助于對(duì)筆記內(nèi)容的查詢。

北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技巧

回顧和把握平時(shí)的困難，注意檢查錯(cuò)誤，填補(bǔ)空白，合理解決問(wèn)題。

在實(shí)踐中，我們要抓住一個(gè)難題。我省高考數(shù)學(xué)考試的難度在0.65左右，如果命題的方向不偏頗，大多數(shù)學(xué)生都能減少當(dāng)前問(wèn)題的難度。對(duì)于優(yōu)等生，要提高難度，靈活運(yùn)用知識(shí)，深入分析問(wèn)題，提高解決問(wèn)題的能力。在平時(shí)，練習(xí)的次數(shù)應(yīng)該適度控制，以前做過(guò)的問(wèn)題應(yīng)該被發(fā)現(xiàn)，特別是容易出錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)。我們應(yīng)該再看一遍，把概念搞清楚，這樣才能減少類似問(wèn)題再犯錯(cuò)誤的可能性。有兩個(gè)重要的問(wèn)題，一個(gè)是戰(zhàn)略，另一個(gè)是技能。高考就像戰(zhàn)爭(zhēng)一樣，在戰(zhàn)略上要輕視敵人，在戰(zhàn)術(shù)上要重視敵人。在策略上，學(xué)生應(yīng)該建立信心。畢竟復(fù)習(xí)時(shí)間已經(jīng)夠長(zhǎng)了，應(yīng)該掌握知識(shí)，這樣答案才能立于不敗之地。就技巧而言，回答問(wèn)題比回答問(wèn)題容易。在試卷中，難度一般是分散的：選擇題的難度在后面，填空的難度也是一樣的。大問(wèn)題一般可以在前面或兩個(gè)做，在后面的大問(wèn)題中，一兩個(gè)小問(wèn)題是比較容易解決的。當(dāng)你回答一個(gè)問(wèn)題時(shí)，你必須先解決這些問(wèn)題。當(dāng)你遇到麻煩時(shí)，不要花太多時(shí)間。只要放棄，做一些簡(jiǎn)單的事情，專注于突破。考試時(shí)間比較緊，要分配合理的答題時(shí)間。當(dāng)然，這會(huì)因人而異。中產(chǎn)階層應(yīng)該把重心往前移動(dòng)，在前面選擇，填的時(shí)間越多，問(wèn)題越大，有的由前面的問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，就能拿到積分來(lái)把握。優(yōu)等生要在掌握問(wèn)題速度的前提下，在適當(dāng)?shù)闹匦霓D(zhuǎn)移的前提下解決問(wèn)題。