終于要學(xué)習(xí)圓錐曲線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)了，高二數(shù)學(xué)本身的知識(shí)體系而言，它主要是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深入學(xué)習(xí)和新知識(shí)模塊的補(bǔ)充。圓錐曲線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)有哪些你知道嗎?一起來(lái)看看圓錐曲線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)，歡迎查閱!

圓錐曲線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)大全

圓錐曲線(xiàn)的應(yīng)用

【考點(diǎn)透視】

一、考綱指要

1.會(huì)按條件建立目標(biāo)函數(shù)研究變量的最值問(wèn)題及變量的取值范圍問(wèn)題，注意運(yùn)用"數(shù)形結(jié)合"、"幾何法"求某些量的最值.

2.進(jìn)一步鞏固用圓錐曲線(xiàn)的定義和性質(zhì)解決有關(guān)應(yīng)用問(wèn)題的方法.

二、命題落點(diǎn)

1.考查地理位置等特殊背景下圓錐曲線(xiàn)方程的應(yīng)用,修建公路費(fèi)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為距離最值問(wèn)題數(shù)學(xué)模型求解，如例1;

2.考查直線(xiàn)、拋物線(xiàn)等基本知識(shí),考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，如例2;

3.考查雙曲線(xiàn)的概念與方程，考查考生分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，如例3.

【典例精析】

例1：(2004?福建)如圖,B地在A地的正東方向4km處,C地在B地的北偏東300方向2km處,河流的沿岸PQ(曲線(xiàn))上任意一點(diǎn)到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)2km.現(xiàn)要在曲線(xiàn)PQ上選一處M建一座碼頭,向B、C兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物.經(jīng)測(cè)算,從M到B、M到C修建公路的費(fèi)用分別是a萬(wàn)元/km、2a萬(wàn)元/km,那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是( )

A.(2-2)a萬(wàn)元 B.5a萬(wàn)元

C. (2+1)a萬(wàn)元 D.(2+3)a萬(wàn)元

解析:設(shè)總費(fèi)用為y萬(wàn)元,則y=a?MB+2a?MC

∵河流的沿岸PQ(曲線(xiàn))上任意一點(diǎn)到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)2km.,

∴曲線(xiàn)PG是雙曲線(xiàn)的一支,B為焦點(diǎn),且a=1,c=2.

過(guò)M作雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)l的垂線(xiàn),垂足為D(如圖).由雙曲線(xiàn)的第二定義,得=e,即MB=2MD.

∴y= a?2MD+ 2a?MC=2a?(MD+MC)≥2a?CE.(其中CE是點(diǎn)C到準(zhǔn)線(xiàn)l的垂線(xiàn)段).

∵CE=GB+BH=(c-)+BC?cos600=(2-)+2×=. ∴y≥5a(萬(wàn)元).

答案:B.

例2：(2004?北京,理17)如圖,過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上一定點(diǎn)P(x0,y0)(y0>0),作兩條直線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)于A(x1，y1),B(x2，y2).

(1)求該拋物線(xiàn)上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離;

(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí),

求的值,并證明直線(xiàn)AB的斜率是非零常數(shù).

解析:(1)當(dāng)y=時(shí),x=.

又拋物線(xiàn)y2=2px的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-,由拋物線(xiàn)定義得,

所求距離為.

(2)設(shè)直線(xiàn)PA的斜率為kPA,直線(xiàn)PB的斜率為kPB.

由y12=2px1,y02=2px0,相減得:,

故.同理可得,

由PA、PB傾斜角互補(bǔ)知 , 即,

所以, 故.

設(shè)直線(xiàn)AB的斜率為kAB, 由,,相減得, 所以.將代入得,

所以kAB是非零常數(shù).

例3：(2004?廣東)某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到了一聲巨響,正東觀測(cè)點(diǎn)聽(tīng)到的時(shí)間比其他兩觀測(cè)點(diǎn)晚4s.已知各觀測(cè)點(diǎn)到該中心的距離都是1020m,試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/s,相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上)

解析：如圖,以接報(bào)中心為原點(diǎn)O,正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸正向,建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測(cè)點(diǎn),則A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020).

設(shè)P(x,y)為巨響發(fā)生點(diǎn),由A、C同時(shí)聽(tīng)到巨響聲,得|PA|=|PC|,

故P在AC的垂直平分線(xiàn)PO上,PO的方程為y=-x,因B點(diǎn)比A點(diǎn)晚4s聽(tīng)到爆炸聲,故|PB|-|PA|=340×4=1360.

由雙曲線(xiàn)定義知P點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)上,

依題意得a=680,c=1020,∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402,

故雙曲線(xiàn)方程為.用y=-x代入上式,得x=±680,

∵|PB|>|PA|,∴x=-680,y=680,　即P(-680,680),　故PO=680.

答：巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北450距中心680 m處.

【常見(jiàn)誤區(qū)】

1.圓錐曲線(xiàn)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題多帶有一定的實(shí)際生活背景, 考生在數(shù)學(xué)建模及解模上均不同程度地存在著一定的困難, 回到定義去, 將實(shí)際問(wèn)題與之相互聯(lián)系,靈活轉(zhuǎn)化是解決此類(lèi)難題的關(guān)鍵;

2.圓錐曲線(xiàn)的定點(diǎn)、定量、定值等問(wèn)題是隱藏在曲線(xiàn)方程中的固定不變的性質(zhì), 考生往往只能浮于表面分析問(wèn)題,而不能總結(jié)出其實(shí)質(zhì)性的結(jié)論,致使問(wèn)題研究徘徊不前,此類(lèi)問(wèn)題解決需注意可以從特殊到一般去逐步歸納,并設(shè)法推導(dǎo)論證.

【基礎(chǔ)演練】

1.(2005?重慶) 若動(dòng)點(diǎn)()在曲線(xiàn)上變化，則的最大值為( )A. B.

C. D.2

2.(2002?全國(guó))設(shè),則二次曲線(xiàn)的離心率的取值范圍為( )A. B.C. D.

3.(2004?精華教育三模)一個(gè)酒杯的軸截面是一條拋物線(xiàn)的一部分,它

的方程是x2=2y,y∈[0,10] 在杯內(nèi)放入一個(gè)清潔球,要求清潔球能

擦凈酒杯的最底部(如圖),則清潔球的最大半徑為( )

A. B.1 C. D.2

4. (2004?泰州三模)在橢圓上有一點(diǎn)P,F1、F2是橢圓的左右焦點(diǎn),△F1PF2為直角三角形,則這樣的點(diǎn)P有 ( )

A.2個(gè) B.4個(gè) C.6個(gè) D.8個(gè)

5.(2004?湖南) 設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn),且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)Pi(i=1,2,3,...),使|FP1|,|FP2|, |FP3|,...組成公差為d的等差數(shù)列,則d的取值范圍為 .

6.(2004?上海) 教材中"坐標(biāo)平面上的直線(xiàn)"與"圓錐曲線(xiàn)"兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是 .

7.(2004?浙江)已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn),

右頂點(diǎn)為A(1,0),點(diǎn)P、Q在雙曲線(xiàn)的右支上,

點(diǎn)M(m,0)到直線(xiàn)AP的距離為1,

(1)若直線(xiàn)AP的斜率為k,且|k|?[],

求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2)當(dāng)m=+1時(shí),△APQ的內(nèi)心恰好是點(diǎn)M,

求此雙曲線(xiàn)的方程.

8. (2004?上海) 如圖, 直線(xiàn)y=x與拋物

線(xiàn)y=x2-4交于A、B兩點(diǎn), 線(xiàn)段AB的垂直平

分線(xiàn)與直線(xiàn)y=-5交于Q點(diǎn).

(1)求點(diǎn)Q的坐標(biāo);

(2)當(dāng)P為拋物線(xiàn)上位于線(xiàn)段AB下方

(含A、B) 的動(dòng)點(diǎn)時(shí), 求ΔOPQ面積的最大值.

9.(2004?北京春) 2003年10月15日9時(shí),"神舟"五號(hào)載人飛船發(fā)射升空,于9時(shí)9分50秒準(zhǔn)確進(jìn)入預(yù)定軌道,開(kāi)始巡天飛行.該軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.選取坐標(biāo)系如圖所示,橢圓中心在原點(diǎn).近地點(diǎn)A距地面200km,遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面350km.已知地球半徑R=6371km.

(1)求飛船飛行的橢圓軌道的方程;

(2)飛船繞地球飛行了十四圈后,于16日5時(shí)59分返回艙與推進(jìn)艙分離,結(jié)束巡天飛行,飛船共巡天飛行了約,問(wèn)飛船巡

天飛行的平均速度是多少km/s?(結(jié)果精確

到1km/s)(注:km/s即千米/秒)

關(guān)于雙曲線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

雙曲線(xiàn)方程

1. 雙曲線(xiàn)的第一定義：

⑴①雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程：. 一般方程：.

⑵①i. 焦點(diǎn)在x軸上：

頂點(diǎn)： 焦點(diǎn)： 準(zhǔn)線(xiàn)方程 漸近線(xiàn)方程：或

ii. 焦點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)：. 焦點(diǎn)：. 準(zhǔn)線(xiàn)方程：. 漸近線(xiàn)方程：或，參數(shù)方程：或 .

②軸為對(duì)稱(chēng)軸，實(shí)軸長(zhǎng)為2a, 虛軸長(zhǎng)為2b，焦距2c. ③離心率. ④準(zhǔn)線(xiàn)距(兩準(zhǔn)線(xiàn)的距離);通徑. ⑤參數(shù)關(guān)系. ⑥焦點(diǎn)半徑公式：對(duì)于雙曲線(xiàn)方程(分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線(xiàn)的上下焦點(diǎn))

“長(zhǎng)加短減”原則：

構(gòu)成滿(mǎn)足(與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號(hào)計(jì)算，而雙曲線(xiàn)不帶符號(hào))

⑶等軸雙曲線(xiàn)：雙曲線(xiàn)稱(chēng)為等軸雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)方程為，離心率.

⑷共軛雙曲線(xiàn)：以已知雙曲線(xiàn)的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線(xiàn)，叫做已知雙曲線(xiàn)的'共軛雙曲線(xiàn).與互為共軛雙曲線(xiàn)，它們具有共同的漸近線(xiàn)：.

⑸共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)系方程：的漸近線(xiàn)方程為如果雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為時(shí)，它的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為.

例如：若雙曲線(xiàn)一條漸近線(xiàn)為且過(guò)，求雙曲線(xiàn)的方程?

解：令雙曲線(xiàn)的方程為：，代入得.

⑹直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系：

區(qū)域①：無(wú)切線(xiàn)，2條與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)，合計(jì)2條;

區(qū)域②：即定點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，1條切線(xiàn)，2條與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)，合計(jì)3條;

區(qū)域③：2條切線(xiàn)，2條與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)，合計(jì)4條;

區(qū)域④：即定點(diǎn)在漸近線(xiàn)上且非原點(diǎn)，1條切線(xiàn)，1條與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)，合計(jì)2條;

區(qū)域⑤：即過(guò)原點(diǎn)，無(wú)切線(xiàn)，無(wú)與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn).

小結(jié)：過(guò)定點(diǎn)作直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線(xiàn)數(shù)目可能有0、2、3、4條.

(2)若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為二個(gè)時(shí)，求確定直線(xiàn)的斜率可用代入法與漸近線(xiàn)求交和兩根之和與兩根之積同號(hào).

⑺若P在雙曲線(xiàn)，則常用結(jié)論1：P到焦點(diǎn)的距離為m = n，則P到兩準(zhǔn)線(xiàn)的距離比為m︰n.

簡(jiǎn)證： =.

常用結(jié)論2：從雙曲線(xiàn)一個(gè)焦點(diǎn)到另一條漸近線(xiàn)的距離等于b.

雙曲線(xiàn)方程知識(shí)點(diǎn)在高考中屬于比較重要的考察點(diǎn)，希望考生認(rèn)真復(fù)習(xí)，深入掌握。

高二數(shù)學(xué)圓錐公式知識(shí)點(diǎn)

⑴集合與簡(jiǎn)易邏輯:集合的概念與運(yùn)算、簡(jiǎn)易邏輯、充要條件

⑵函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用

⑶數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用

⑷三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡(jiǎn)、證明、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用

⑸平面向量：有關(guān)概念與初等運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及其應(yīng)用

⑹不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對(duì)值不等式、不等式的應(yīng)用

⑺直線(xiàn)和圓的方程：直線(xiàn)的方程、兩直線(xiàn)的位置關(guān)系、線(xiàn)性規(guī)劃、圓、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

⑻圓錐曲線(xiàn)方程：橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系、軌跡問(wèn)題、圓錐曲線(xiàn)的應(yīng)用

⑽排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用

⑾概率與統(tǒng)計(jì)：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布

⑿導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

⒀復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圓半徑

余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是邊a和邊c的夾角

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圓心坐標(biāo)

圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2pxy2=-2p__2=2pyx2=-2py

直棱柱側(cè)面積S=c_h斜棱柱側(cè)面積S=c'_h

正棱錐側(cè)面積S=1/2c_h'正棱臺(tái)側(cè)面積S=1/2(c+c')h'

圓臺(tái)側(cè)面積S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面積S=4pi_r2

圓柱側(cè)面積S=c_h=2pi_h圓錐側(cè)面積S=1/2_c_l=pi_r_l

弧長(zhǎng)公式l=a_ra是圓心角的弧度數(shù)r>0扇形面積公式s=1/2_l_r

錐體體積公式V=1/3_S_H圓錐體體積公式V=1/3_pi_r2h

斜棱柱體積V=S'L注：其中,S'是直截面面積，L是側(cè)棱長(zhǎng)

柱體體積公式V=s_h圓柱體V=p_r2h

乘法與因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a

根與系數(shù)的關(guān)系X1+X2=-b/aX1_X2=c/a注：韋達(dá)定理

判別式

b2-4ac=0注：方程有兩個(gè)相等的實(shí)根

b2-4ac>0注：方程有兩個(gè)不等的實(shí)根

b2-4ac<0注：方程沒(méi)有實(shí)根，有共軛復(fù)數(shù)根

兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化積

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB