“二次根式” 一章就探索它的性質(zhì)，掌握它的運(yùn)算。在這一章，首先讓學(xué)生了解二次根式的概念，并掌握幾點(diǎn)重要結(jié)論，今天小編就給大家?guī)?lái)二次根式教學(xué)實(shí)錄，希望能幫助到大家!
二次根式教學(xué)實(shí)錄1
一、教學(xué)目標(biāo)
1.掌握二次根式的性質(zhì)
2.能夠利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式
3.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想和方法
二、教學(xué)設(shè)計(jì)
對(duì)比、歸納、總結(jié)
三、重點(diǎn)和難點(diǎn)
1.重點(diǎn)：理解并掌握二次根式的性質(zhì)
2.難點(diǎn)：理解式子 中的 可以取任意實(shí)數(shù)，并能根據(jù)字母的取值范圍正確地化簡(jiǎn)有關(guān)的二次根式.
四、課時(shí)安排
1課時(shí)
五、教具學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀、膠片、多媒體
六、師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)
復(fù)習(xí)對(duì)比，歸納整理，應(yīng)用提高，以學(xué)生活動(dòng)為主
七、教學(xué)步驟
(一)教學(xué)過(guò)程
【復(fù)習(xí)引入】
1.求值 、 、 、 …
求值 、 、 、 …
結(jié)論：當(dāng) 時(shí)， ;
當(dāng) 時(shí)， .
2.求值 、 …
結(jié)論：當(dāng) 時(shí)，式子有意義， ，對(duì)于 ， 不能為負(fù)數(shù).
3.求值 、 …
結(jié)論：當(dāng) 時(shí)， .
問(wèn)：若根號(hào)內(nèi)這個(gè)式子中的底數(shù) ，根式還有意義嗎?其值等于什么?
例如， ，其中-2與2互為相反數(shù); ，其中-3與3互為相反數(shù); ，其中 與 互為相反數(shù).
【講解新課】
提出問(wèn)題： 等于什么?引導(dǎo)學(xué)生討論、猜測(cè)、聯(lián)想，得到結(jié)論：
教師可結(jié)合學(xué)生的具體情況，將上面公式用最簡(jiǎn)練的語(yǔ)句表達(dá)，并反復(fù)提問(wèn)中差學(xué)生，加深其印象，進(jìn)一步提問(wèn)：若 時(shí)， 能否等于 ，以增強(qiáng)學(xué)生的辨別能力，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式的理解和記憶.
例1 化簡(jiǎn)：
(1) ; (2) .
解：(略).
注： 可看作 ，把 先寫(xiě)為 ;
可看作 ，把 先寫(xiě)為 .
例2 化簡(jiǎn)： .
分析：底數(shù) 是非負(fù)數(shù)還是負(fù)數(shù)將直接影響結(jié)果，這時(shí)要注意條件，由條件 ，可得 .
∴ .
解：(略).
例3 化簡(jiǎn)下列各式：
(1) ( ); (2) ( );
(3) ( ); (4) ( ).
解：(1)∵
∴ .
∴
.
(2)∵
∴ ，即 .
∴
.
(3)∵
∴ ，即 .
∴
.
(4)∵ ，
∵ ，即 .
∴ .
注：要從條件出發(fā)，判斷根號(hào)下面式子的底數(shù)是非負(fù)數(shù)還是負(fù)數(shù)，再根據(jù)公式 計(jì)算出結(jié)果，因此在解題過(guò)程中，也是先寫(xiě)出條件，后進(jìn)行變形，判斷底數(shù)的正、負(fù).
在寫(xiě)解題步驟上，盡量完整，以減少失誤，并訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力.
(二)隨堂練習(xí)
1.求值：
(1) ;(2) ;(3) ( );
(4) ;(5) .
解：(1) .
(2) .
(3) .
(4) .
(5) .
注： ，學(xué)生易與 相混淆.
2.化簡(jiǎn)：
(1) ;(2) ;(3) ;
(4) ( ); (5) ( ).
解：(1) .
(2) .
(3) .
(4) .
(5) .
(三)總結(jié)、擴(kuò)展
對(duì)公式 ，一定要在理解在基礎(chǔ)上牢固掌握，要準(zhǔn)確地運(yùn)用公式進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，關(guān)鍵是對(duì)根號(hào)內(nèi)式子的底數(shù)的判斷.
(四)布置作業(yè)
教材P213中1(2)、(3);2(1)、(2).
(五)板書(shū)設(shè)計(jì)
二次根式教學(xué)實(shí)錄2
教學(xué)建議
本節(jié)的重點(diǎn)有兩個(gè)：
⒈同類二次根式的概念
⒉二次根式加減運(yùn)算的方法
本節(jié)的主要內(nèi)容是講解，而的關(guān)鍵是把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再把同類二次根式合并.運(yùn)算實(shí)質(zhì)是合并同類二次根式，前提是要充分了解同類二次根式的概念，因此同類二次根式的概念是本節(jié)的一個(gè)重點(diǎn).
本節(jié)的難點(diǎn) 運(yùn)算
首先是化簡(jiǎn)，在化簡(jiǎn)之后，就是類似整式加減的運(yùn)算了.整式加減無(wú)非是去括號(hào)與合并同類項(xiàng)，二次根式的加減在化簡(jiǎn)之后也是如此，同類二次根式類似同類項(xiàng).但是學(xué)生初次接觸，在運(yùn)算過(guò)程中容易出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤，因此熟練掌握運(yùn)算是本節(jié)的難點(diǎn).
本節(jié)的主要內(nèi)容是講解，而的關(guān)鍵是把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再把同類二次根式合并.
(1)在知識(shí)引入的講解中，有兩種不同的處理方法：一是按照教材中的方法，先給出幾個(gè)二次根式，把他們都化成最簡(jiǎn)二次根式，在進(jìn)行比較或者加減運(yùn)算，從而引出和同類二次根式;二是先復(fù)習(xí)同類項(xiàng)的概念或進(jìn)行一兩道簡(jiǎn)單的正式加減的題目，通過(guò)類比引出同類二次根式和.兩種處理方法各有優(yōu)劣，教師在教學(xué)過(guò)程 中可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行選擇，當(dāng)然也可以把這兩種方法綜合應(yīng)用，但有些過(guò)繁.
(2)在教材例1的教學(xué)中，教師可以根據(jù)學(xué)生情況進(jìn)行細(xì)分處理，例如分成幾個(gè)小問(wèn)題：①把被開(kāi)方數(shù)都是整數(shù)的放在一個(gè)小題中，②把被開(kāi)方數(shù)都是分?jǐn)?shù)的放在一個(gè)小題中，③把被開(kāi)方數(shù)帶有簡(jiǎn)單字母的放在一個(gè)小題中，④把字母次數(shù)略高于2的放在一個(gè)小題中，……使問(wèn)題的解決有一個(gè)由淺入深的漸進(jìn)過(guò)程，便于學(xué)生參與其中，也容易使學(xué)生獲得成就感.
(3)在組織學(xué)生進(jìn)行教學(xué)中，同樣將例題細(xì)分成幾個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)，例如：①不需要化簡(jiǎn)能直接進(jìn)行相加減的，②需要化簡(jiǎn)但被開(kāi)方數(shù)都是簡(jiǎn)單整數(shù)的，③被開(kāi)方數(shù)都是有理數(shù)但既有整數(shù)又有分?jǐn)?shù)的，④被開(kāi)方數(shù)含有字母的，等等.
(4)在二次根式加減法的組織教學(xué)中，雖然教材已經(jīng)不要求二次根式加減法的法則，但可以組織學(xué)生自己總結(jié)法則，既有利于學(xué)生的參與，又能提高學(xué)生的觀察、分析和歸納能力.
(5)在二次根式加減法的整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師都要及時(shí)糾正學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，比如：①不是最簡(jiǎn)二次根式就不是同類二次根式，②該化簡(jiǎn)的沒(méi)有化簡(jiǎn)，或化簡(jiǎn)的不正確，③該合并的沒(méi)有合并，不該合并的給合并了，或者合并錯(cuò)了，等等類似情況.教師在教學(xué)中可以出一些容易出錯(cuò)的題目讓學(xué)生進(jìn)行辨別，以利于知識(shí)的鞏固.
教學(xué)設(shè)計(jì)示例1
一、素質(zhì)教育目標(biāo)
(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)
1.使學(xué)生了解最簡(jiǎn)二次根式的概念和同類二次根式的概念.
2.能判斷二次根式中的同類二次根式.
3.會(huì)用同類二次根式進(jìn)行二次根式的加減.
(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)
通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力并提高學(xué)生的運(yùn)算能力.
(三)德育滲透點(diǎn)
從簡(jiǎn)單的同類二次根式的合并，層層深入，從解題的過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化的思維，滲透辯證唯物主義思想.
(四)美育滲透點(diǎn)
通過(guò)二次根式的加減，滲透二次根式化簡(jiǎn)合并后的形式簡(jiǎn)單美.
二、學(xué)法引導(dǎo)
1.教師教法 引導(dǎo)法、比較法、剖析法，在比較和剖析中，不斷糾正錯(cuò)誤，從而樹(shù)立牢固的計(jì)算方法.
2.學(xué)生學(xué)法 通過(guò)不斷的練習(xí)，從中體會(huì)、比較、二次根式加減法中，正確的方法使用，并注重小結(jié)出二次根式加減法的法則.
三、重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法
1.教學(xué)重點(diǎn) 運(yùn)算.
2.教學(xué)難點(diǎn) 二次根式的化簡(jiǎn).
3.疑點(diǎn)及解決辦法 的關(guān)鍵在于二次根式的化簡(jiǎn)，在適當(dāng)復(fù)習(xí)二次根的化簡(jiǎn)后進(jìn)行一步引入幾個(gè)整式加減法的，以引起學(xué)生的求知欲與興趣，從而最后引入同類，可進(jìn)行階梯式教學(xué)，由淺到深、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的教學(xué)方法，以利于學(xué)生的理解、掌握和運(yùn)用，通過(guò)具體例題的計(jì)算，可由教師引導(dǎo)，由學(xué)生總結(jié)出計(jì)算的步驟和注意的問(wèn)題，還可以通過(guò)反例，讓學(xué)生去偽存真，這種比較法的教學(xué)可使學(xué)生對(duì)概念的理解、法則的運(yùn)用更加準(zhǔn)確和熟練，并能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，以達(dá)到更好的學(xué)習(xí)效果.
四、課時(shí)安排
2課時(shí)
五、教具學(xué)具準(zhǔn)備
投影片
六、師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)
1.復(fù)習(xí)最簡(jiǎn)二根式整式及的加減運(yùn)算，引入二次根式的加減運(yùn)算，盡量讓學(xué)生回答問(wèn)題.
2.教師通過(guò)例題的示范讓學(xué)生了解什么是，并引入同類的二次根式的定義.
3.再通過(guò)較復(fù)雜的計(jì)算，引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)歸納出的法則.
4.通過(guò)學(xué)生的反復(fù)訓(xùn)練，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題及時(shí)糾正，并引導(dǎo)學(xué)生從解題過(guò)程中體會(huì)理解二次根式加減法的實(shí)質(zhì)及解決的方法.
七、教學(xué)步驟
(-)明確目標(biāo)
學(xué)習(xí)二次根式化簡(jiǎn)的目的是為了能將一些最終能化為同類二次根式項(xiàng)相合并，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的，本節(jié)課就是研究.
(二)整體感知
同類二次根式的概念應(yīng)分二層含義去理解(1)化簡(jiǎn)后(2)被開(kāi)方數(shù)還相同.通過(guò)正確理解二次根式加減法的法則來(lái)準(zhǔn)確地實(shí)施二次根式加減法的運(yùn)算，應(yīng)特別注意合并同類二次根式時(shí)僅將它們的系數(shù)相加減，根式一定要保持不變，并可對(duì)比整式的加減法則以增加對(duì)合并同類二次根式的理解，增強(qiáng)綜合運(yùn)算的能力.
第一課時(shí)
(-)教學(xué)過(guò)程
【復(fù)習(xí)引入】
什么樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式?(由學(xué)生回答)
與 的形式與實(shí)質(zhì)是什么?
可以化簡(jiǎn)為 .
繼續(xù)提問(wèn)： ，可以化簡(jiǎn)嗎?
，可以化簡(jiǎn)嗎?
這就是本節(jié)課研究的內(nèi)容——.
【講解新課】
1.復(fù)習(xí)整式的加減運(yùn)算
計(jì)算：
(1) ;
(2) ;
(3) .
小結(jié)：整式的加減法，實(shí)質(zhì)上就是去括號(hào)和合并同類項(xiàng)的運(yùn)算.
2.例題
(1)計(jì)算 .
解： .
(2)計(jì)算 .
解： .
小結(jié)：
(1)如果幾個(gè)二次根式的被開(kāi)方數(shù)相同，那么可以直接根據(jù)分配律進(jìn)行加減運(yùn)算.
(2)如果所給的二次根式不是最簡(jiǎn)二次根式，應(yīng)該先化簡(jiǎn)，再進(jìn)行加減運(yùn)算.
定義：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式.
3.例題
例1 下列各式中，哪些是同類二次根式? ， ， ， ， ， ， .
解：略.
例2 計(jì)算 .
解：
.
例3 計(jì)算 .
解：
.
二次根式加減法的法則：
二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把同類二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變.
(可對(duì)比整式的加減法則)
例4 計(jì)算：
(1) .
解：
.
(2) .
解：
.
(二)隨堂練習(xí)
計(jì)算：
(1) ;
(2) ;
(3) .
練習(xí)：教材P192中1、2(1)、(2)、(3)、(4)、(5);教材P193中1、2.
(三)總結(jié)、擴(kuò)展
同類二次根式的定義.
與整式的加減法進(jìn)行比較，強(qiáng)調(diào)注意的問(wèn)題.
(四)布置作業(yè)
教材P193中(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6);教材P194中4(1)、(2)、(3)、(4).
(五)板書(shū)設(shè)計(jì)
二次根式教學(xué)實(shí)錄3
1.教材分析
本節(jié)是在前兩節(jié)的基礎(chǔ)上，從實(shí)際運(yùn)算的客觀需要出發(fā)，引出的概念，然后通過(guò)一組例題介紹了化簡(jiǎn)二次根式的方法.本小節(jié)內(nèi)容比較少(求學(xué)生了解的概念并掌握化簡(jiǎn)二次根式的方法)，但是本節(jié)知識(shí)在全章中卻起著承上啟下的重要樞紐作用，二次根式性質(zhì)的應(yīng)用、二次根式的化簡(jiǎn)以及二次根式的運(yùn)算都需要來(lái)聯(lián)接.
(1)知識(shí)結(jié)構(gòu)
(2)重難點(diǎn)分析
①本節(jié)的重點(diǎn) Ⅰ.概念
Ⅱ.利用二次根式的性質(zhì)把二次根式化簡(jiǎn)為.
重點(diǎn)分析 本章的主要內(nèi)容是二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算，但自始至終圍繞著二次根式的化簡(jiǎn)和運(yùn)算.二次根式化簡(jiǎn)的最終目標(biāo)就是;而二次根式的運(yùn)算則是合并同類二次根式，怎樣判定同類二次根式，是在化簡(jiǎn)為的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.因此本節(jié)以二次根式的概念和二次根式的性質(zhì)為基礎(chǔ)，內(nèi)容雖然簡(jiǎn)單，在本章中卻起著穿針引線的作用，教師 在教學(xué) 中應(yīng)給于極度重視，不可因?yàn)閮?nèi)容簡(jiǎn)單而采取弱化處理;同時(shí)初二學(xué)生代數(shù)成績(jī)的分化一般是由本節(jié)開(kāi)始的，分化的根本原因就是對(duì)概念理解不夠深刻，遇到相關(guān)問(wèn)題不知怎樣操作，具體操作到哪一步.
②本節(jié)的難點(diǎn)是化簡(jiǎn)二次根式的方法與技巧.
難點(diǎn)分析 化簡(jiǎn)二次根式，實(shí)際上是二次根式性質(zhì)的綜合運(yùn)用.化簡(jiǎn)二次根式的過(guò)程，一般按以下步驟：把根號(hào)下的帶分?jǐn)?shù)或絕對(duì)值大于1的小數(shù)化成假分?jǐn)?shù)，把絕對(duì)值小于1的小數(shù)化成分?jǐn)?shù);被開(kāi)方數(shù)是多項(xiàng)式的要因式分解;使被開(kāi)放數(shù)不含分母;將被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)的盡方的因數(shù)或因式用它的算術(shù)平方根代替后移到根號(hào)外面;化去分母中的根號(hào);約分.所以對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)，這一過(guò)程容易出現(xiàn)符號(hào)和計(jì)算出錯(cuò)的問(wèn)題.熟練掌握化簡(jiǎn)二次根式的方法與技巧，能夠進(jìn)一步開(kāi)拓學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生的解題能力.
③重難點(diǎn)的解決辦法是對(duì)于這一概念，并不要求學(xué)生能否背出定義，關(guān)鍵是遇到實(shí)際式子能夠加以判斷.因此建議在教學(xué)過(guò)程 中對(duì)概念本身采取弱化處理，讓學(xué)生在反復(fù)練習(xí)中熟悉這個(gè)概念;同時(shí)教學(xué) 中應(yīng)充分對(duì)概念理解后應(yīng)用具體的實(shí)例歸納總結(jié)出把一個(gè)二次根式化為的方法，在觀察對(duì)比中引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)具體解決問(wèn)題的方法技巧.
另外，化簡(jiǎn)運(yùn)算在本節(jié)既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，學(xué)生在簡(jiǎn)潔性和準(zhǔn)確性上都容易出現(xiàn)問(wèn)題，因此建議在教學(xué)過(guò)程 中多要求學(xué)生觀察二次根式的特點(diǎn)――根據(jù)其特點(diǎn)分析運(yùn)用哪條性質(zhì)、哪種方法來(lái)解答，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和觀察能力――多要求學(xué)生注意每步運(yùn)算的根據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)習(xí)慣.
2.教法建議
素質(zhì)教育 和新的教改精神的根本是增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和學(xué)生的參與意識(shí)，使每一個(gè)學(xué)生想學(xué)、愛(ài)學(xué)、會(huì)學(xué)。因此教師 設(shè)計(jì)教學(xué) 時(shí)要充分考慮到學(xué)生心理特點(diǎn)和思維特點(diǎn)，充分發(fā)揮情感因素，使學(xué)生完全參與到整個(gè)教學(xué) 中來(lái)。
⑴在復(fù)習(xí)引入時(shí)要注意每個(gè)學(xué)生的反映，對(duì)預(yù)備知識(shí)掌握比較好的學(xué)生要用適當(dāng)?shù)姆绞浇o于表?yè)P(yáng)，掌握差一些的學(xué)生要給予鼓勵(lì)和適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，使每一個(gè)學(xué)生愉快的進(jìn)入下一個(gè)環(huán)節(jié)。
⑵學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)段，教師 要注意學(xué)生的反饋情況，根據(jù)學(xué)生的反饋情況和學(xué)生的層次采取適當(dāng)?shù)姆绞綄?duì)需要幫助的學(xué)生給予幫助，中上等的學(xué)生可以啟發(fā)，中等的學(xué)生可以與他探討，偏后的學(xué)生可以幫他分析.
一．教學(xué)目標(biāo)
1.了解的意義，并能作出準(zhǔn)確判斷.
2.能熟練地把二次根式化為.
3.了解把二次根式化為在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.
4.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行二次根式化簡(jiǎn)的能力，提高運(yùn)算能力.
5.通過(guò)多種方法化簡(jiǎn)二次根式，滲透事物間相互聯(lián)系的辯證觀點(diǎn).
6.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
二.重點(diǎn)難點(diǎn)
1.教學(xué) 重點(diǎn) 會(huì)把二次根式化簡(jiǎn)為
2.教學(xué) 難點(diǎn) 準(zhǔn)確運(yùn)用化二次根式為的方法
三.教學(xué) 方法
程序式教學(xué)
四.課時(shí)安排
2課時(shí)
五.教學(xué)過(guò)程
1.復(fù)習(xí)引入
教師 準(zhǔn)備本節(jié)內(nèi)容需要的二次根式的性質(zhì)和與性質(zhì)相關(guān)例題、練習(xí)題以及引入材料.
【預(yù)備資料】
⑴.二次根式的性質(zhì)
⑵.二次根式性質(zhì)例題
⑶.二次根式性質(zhì)練習(xí)題
【引入材料】
看下面的問(wèn)題：
已知： =1.732，如何求出 的近似值?
解法1：
解法2：
比較兩種解法，解法1很繁，解法2較簡(jiǎn)便，比例說(shuō)明，將二次根式化簡(jiǎn)，有時(shí)會(huì)帶來(lái)方便.
2.概念講解與鞏固
滿足下列條件的二次根式，叫做：
(1) 被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式;
(2) 被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.
如: 都不是，因?yàn)楸婚_(kāi)方數(shù)的因數(shù)(或系數(shù))為分?jǐn)?shù)或因式為分式，不符合條件(1)，條件(1)實(shí)際上就是要求被開(kāi)方數(shù)的分母中不帶根號(hào).
又如 也不是，因?yàn)楸婚_(kāi)方數(shù)中含有能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，不滿足條件(2).注意條件(2)是對(duì)被開(kāi)方數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)或分解成因式后而言的，如 .
判斷一個(gè)二次根式是不是的方法，就是逐個(gè)檢查定義中的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足兩個(gè)條件的就是，否則就不是.
【概念理解學(xué)習(xí)材料1】
例1 下列二次根式中哪些是?哪些不是?為什么?
分析：判斷一個(gè)二次根式是不是的方法，就是逐個(gè)檢查定義中的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足兩個(gè)條件的就是，否則就不是.
解：有 ，因?yàn)?/p>
被開(kāi)方數(shù)中含能開(kāi)得盡方的因數(shù)9，所以它不是.
說(shuō)明：判斷一個(gè)二次根式是否為主要方法是根據(jù)的定義進(jìn)行，或直觀地觀察被開(kāi)方數(shù)的每一個(gè)因數(shù)(或因式)的指數(shù)都小于根指數(shù)2，且被開(kāi)方數(shù)中不含有分母，被開(kāi)方數(shù)是多項(xiàng)式時(shí)要先因式分解后再觀察。
【概念理解鞏固材料1】
正選練習(xí)題1
判斷下列各式是否是?
備選選練習(xí)題1
判斷下列各式是否是?
【概念理解學(xué)習(xí)材料2】
例2判斷下列各式是否是?
分析：(1) 顯然滿足的兩個(gè)條件.
(2) 或
解：只有 ，因?yàn)?/p>
或
說(shuō)明：應(yīng)該分母里沒(méi)根式，根式里沒(méi)分母(或小數(shù)).
【概念理解鞏固材料2】
正選練習(xí)題2
判斷下列各式是否是?
備選選練習(xí)題2
判斷下列各式是否是?
【概念理解學(xué)習(xí)材料3】
例3判斷下列各式是否是?
分析：應(yīng)該分母里沒(méi)根式，根式里沒(méi)分母(或小數(shù))來(lái)進(jìn)行判斷發(fā)現(xiàn) 和 是，而 不是，因?yàn)?/p>
在根據(jù)定義知 也不是，因?yàn)?/p>
解：有 和 ，因?yàn)?/p>
，
.
【概念理解鞏固材料3】
正選練習(xí)題3
判斷下列各式是否是?
備選選練習(xí)題3
判斷下列各式是否是?
題目可根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況選擇2-3道.
【概念理解學(xué)習(xí)材料4】
例4判斷下列各式是否是?
分析：被開(kāi)方數(shù)是多項(xiàng)式的要先分解因式再進(jìn)行觀察判斷.
(1) 不能分解因式， 顯然滿足的兩個(gè)條件.
(2)
解：只有 ，因?yàn)?/p>
.
說(shuō)明：被開(kāi)方數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，應(yīng)先進(jìn)行因式分解再觀察.
【概念理解鞏固材料4】
正選練習(xí)題4
判斷下列各式是否是?
備選選練習(xí)題4
判斷下列各式是否是?
題目可根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況選擇2-3道.
3.化簡(jiǎn)二次根式為方法學(xué)習(xí)與鞏固
學(xué)生閱讀教師 預(yù)備的材料，理解后自主完成教師 準(zhǔn)備的正選練習(xí)題，每完成一套與教師 交流一次，在教師 的指示下繼續(xù)進(jìn)行.教師 要及時(shí)了解學(xué)生對(duì)二次根式化簡(jiǎn)的反饋情況，如果掌握比較理想，則要求進(jìn)入下一步操作，否則應(yīng)與學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)溝通，如需要可從備選練習(xí)題選擇鞏固.
【化簡(jiǎn)方法學(xué)習(xí)材料1】
例1把下列二次根式化為
分析：本例題中的2道題都是基礎(chǔ)題，只要將被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)的盡方的因數(shù)或因式用它的算術(shù)平方根代替后移到根號(hào)外面即可.
解：
【化簡(jiǎn)方法鞏固材料1】
正選練習(xí)題1
化簡(jiǎn)
備選練習(xí)題1
化簡(jiǎn)
題目可由教師 根據(jù)學(xué)生情況準(zhǔn)備.
【化簡(jiǎn)方法學(xué)習(xí)材料2】
例2 把下列二次根式化為
分析：本例題中的2道題被開(kāi)方數(shù)都是多項(xiàng)式，應(yīng)先進(jìn)行因式分解.
解：
說(shuō)明：被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)的盡方的因數(shù)或因式的算術(shù)平方根移到根號(hào)外面后要注意符號(hào)問(wèn)題.
在化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，要防止出現(xiàn)如下的錯(cuò)誤:
等等.
化簡(jiǎn)二次根式的步驟是：
(1) 把被開(kāi)方數(shù)(或式)化成積的形式，即分解因式.
(2) 化去根號(hào)內(nèi)的分母，即分母有理化.
(3) 將根號(hào)內(nèi)能開(kāi)得盡方的因數(shù)(式)開(kāi)出來(lái).
【化簡(jiǎn)方法鞏固材料2】
正選練習(xí)題2
化簡(jiǎn)
備選練習(xí)題2
化簡(jiǎn)
題目可由教師 根據(jù)學(xué)生情況準(zhǔn)備.
【化簡(jiǎn)方法學(xué)習(xí)材料3】
例3把下列二次根式化為
分析：被開(kāi)方式比較復(fù)雜時(shí)，要先對(duì)被開(kāi)方式進(jìn)行處理。
解：
說(shuō)明：運(yùn)算中要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性和合理性.
【化簡(jiǎn)方法鞏固材料3】
正選練習(xí)題3
化簡(jiǎn)
備選練習(xí)題3
化簡(jiǎn)
題目可由教師 根據(jù)學(xué)生情況準(zhǔn)備.
4.小結(jié)
⑴概念
⑵二次根式的化簡(jiǎn)
化簡(jiǎn)二次根式的過(guò)程，一般按以下步驟：把根號(hào)下的帶分?jǐn)?shù)或絕對(duì)值大于1的小數(shù)化成假分?jǐn)?shù)，把絕對(duì)值小于1的小數(shù)化成分?jǐn)?shù);被開(kāi)方數(shù)是多項(xiàng)式的要因式分解;使被開(kāi)放數(shù)不含分母;將被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)的盡方的因數(shù)或因式用它的算術(shù)平方根代替后移到根號(hào)外面;化去分母中的根號(hào);約分.
二次根式教學(xué)實(shí)錄4
教學(xué)建議
知識(shí)結(jié)構(gòu)：
重點(diǎn)難點(diǎn)分析：
是商的二次根式的性質(zhì)及利用性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算,利用分母有理化化簡(jiǎn).商的算術(shù)平方根的性質(zhì)是本節(jié)的主線，學(xué)生掌握性質(zhì)在二次根使得化簡(jiǎn)和運(yùn)算的運(yùn)用是關(guān)鍵，從化簡(jiǎn)與運(yùn)算由引出初中重要的內(nèi)容之一分母有理化，分母有理化的理解決定了最簡(jiǎn)二次根式化簡(jiǎn)的掌握.
教學(xué)難點(diǎn) 是二次根式的除法與商的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用.二次根式的除法與乘法既有聯(lián)系又有區(qū)別，強(qiáng)調(diào)根式除法結(jié)果的一般形式，避免分母上含有根號(hào).由于分母有理化難度和復(fù)雜性大，要讓學(xué)生首先理解分母有理化的意義及計(jì)算結(jié)果形式.
教法建議：
1. 本節(jié)內(nèi)容是在有積的二次根式性質(zhì)的基礎(chǔ)后學(xué)習(xí)，因此可以采取學(xué)生自主探索學(xué)習(xí)的模式，通過(guò)前一節(jié)的復(fù)習(xí)，讓學(xué)生通過(guò)具體實(shí)例再結(jié)合積的性質(zhì)，對(duì)比、歸納得到商的二次根式的性質(zhì).教師在此過(guò)程中給與適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，提出問(wèn)題讓學(xué)生有一定的探索方向.
2. 本節(jié)內(nèi)容可以分為三課時(shí)，第一課時(shí)討論商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，并運(yùn)用這一性質(zhì)化簡(jiǎn)較簡(jiǎn)單的二次根式(被開(kāi)方數(shù)的分母可以開(kāi)得盡方的二次根式);第二課時(shí)討論二次根式的除法法則，并運(yùn)用這一法則進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式的除法運(yùn)算以及二次根式的乘除混合運(yùn)算，這一課時(shí)運(yùn)算結(jié)果不包括根號(hào)出現(xiàn)內(nèi)出現(xiàn)分式或分?jǐn)?shù)的情況;第三課時(shí)討論分母有理化的概念及方法，并進(jìn)行二次根式的乘除法運(yùn)算，把運(yùn)算結(jié)果分母有理化.這樣安排使內(nèi)容由淺入深，各部分相互聯(lián)系，因此及彼，層層展開(kāi).
3. 引導(dǎo)學(xué)生思考“想一想”中的內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，教師組織學(xué)生思考、討論過(guò)程中，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，積極探索，運(yùn)用類比、歸納和從特殊到一般的思考方法激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性的思維.
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
一、教學(xué)目標(biāo)
1.掌握商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，能利用性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算;
2.會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式的除法運(yùn)算;
3.使學(xué)生掌握分母有理化概念，并能利用分母有理化解決二次根式的化簡(jiǎn)及近似計(jì)算問(wèn)題;
4. 培養(yǎng)學(xué)生利用二次根式的除法公式進(jìn)行化簡(jiǎn)與計(jì)算的能力;
5. 通過(guò)二次根式公式的引入過(guò)程，滲透從特殊到一般的歸納方法，提高學(xué)生的歸納總結(jié)能力;
6. 通過(guò)分母有理化的教學(xué)，滲透數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性.
二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
1.重點(diǎn)：會(huì)利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式的除法運(yùn)算，還要使學(xué)生掌握二次根式的除法采用分母有理化的方法進(jìn)行.
2.難點(diǎn)：二次根式的除法與商的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用.
三、教學(xué)方法
從特殊到一般總結(jié)歸納的方法以及類比的方法，在學(xué)習(xí)了二次根式乘法的基礎(chǔ)上本小節(jié)
內(nèi)容可引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)，進(jìn)行總結(jié)對(duì)比.
四、教學(xué)手段
利用投影儀.
五、教學(xué)過(guò)程
(一) 引入新課
學(xué)生回憶及得算數(shù)平方根和性質(zhì)： (a≥0，b≥0)是用什么樣的方法引出的?(上述積的算術(shù)平方根的性質(zhì)是由具體例子引出的.)
學(xué)生觀察下面的例子，并計(jì)算：
由學(xué)生總結(jié)上面兩個(gè)式的關(guān)系得：
類似地，每個(gè)同學(xué)再舉一個(gè)例子，然后由這些特殊的例子，得出：
(二)新課
商的算術(shù)平方根.
一般地，有 (a≥0，b>0)
商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.
讓學(xué)生討論這個(gè)式子成立的條件是什么?a≥0，b>0，對(duì)于為什么b>0，要使學(xué)生通過(guò)討論明確，因?yàn)閎=0時(shí)分母為0，沒(méi)有意義.
引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)算順序看，等號(hào)左邊是將非負(fù)數(shù)a除以正數(shù)b求商，再開(kāi)方求商的算術(shù)平方根，等號(hào)右邊是先分別求被除數(shù)、除數(shù)的算術(shù)平方根，然后再求兩個(gè)算術(shù)平方根的商，根據(jù)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算.
例1 化簡(jiǎn)：
(1) ; (2) ; (3) ;
解∶(1)
(2)
(3)
說(shuō)明：如果被開(kāi)方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，在運(yùn)算時(shí)，一般先化成假分?jǐn)?shù);本節(jié)根號(hào)下的字母均為正數(shù).
例2 化簡(jiǎn)：
(1) ; (2) ;
解：(1)
(2)
讓學(xué)生觀察例題中分母的特點(diǎn)，然后提出， 的問(wèn)題怎樣解決?
再總結(jié)：這一小節(jié)開(kāi)始講的二次根式的化簡(jiǎn)，只限于所得結(jié)果的式子中分母可以完全開(kāi)的盡方的情況， 的問(wèn)題，我們將在今后的學(xué)習(xí)中解決.
學(xué)生討論本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并進(jìn)行小結(jié).
(三)小結(jié)
1.商的算術(shù)平方根的性質(zhì).(注意公式成立的條件)
2.會(huì)利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式的化簡(jiǎn).
(四)練習(xí)
1.化簡(jiǎn)：
(1) ; (2) ; (3) .
2.化簡(jiǎn)：
(1) ; (2) ; (3)
六、作業(yè)
教材P.183習(xí)題11.3;A組1.
七、板書(shū)設(shè)計(jì)
二次根式教學(xué)實(shí)錄5
一、教學(xué) 目標(biāo)
1.掌握二次根式的混合運(yùn)算.
2.掌握混合運(yùn)算的應(yīng)用.
3.通過(guò)二次根式的混合運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力.
4.通過(guò)混合運(yùn)算知識(shí)拓展，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神
二、教學(xué) 設(shè)計(jì)
小結(jié)、歸納、提高
三、重點(diǎn)、難點(diǎn)解決辦法
1.教學(xué) 重點(diǎn)：二次根式的混合運(yùn)算.
2.教學(xué) 難點(diǎn)：混合運(yùn)算的應(yīng)用.
四、課時(shí)安排
1課時(shí)
五、教具學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀、膠片、多媒體
六、師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)
復(fù)習(xí)小結(jié)，歸納整理，應(yīng)用提高，以學(xué)生活動(dòng)為主
七、教學(xué)過(guò)程
【例題】
例1 化簡(jiǎn)：
(1) ; (2) .
解：(1)
.
(2)
.
說(shuō)明：在計(jì)算過(guò)程中要注意各個(gè)式子的特點(diǎn)，能否約分或消項(xiàng)(第2小題)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的，又要善于在規(guī)則允許的情況下可變換相鄰項(xiàng)的位置，如 ，結(jié)果為-1，繼續(xù)運(yùn)算易出現(xiàn)符號(hào)上的差錯(cuò)，而把 先變?yōu)?，這樣 則為1，繼續(xù)運(yùn)算可避免錯(cuò)誤.
例2 解下列方程(組)：
(1)
(2)
(3)
解：(1)
.
(2)①× ，得
③
②× ，得
④
③-④，得
把 代入①，得
解得 .
∴ 是原方程組的解.
(3)由②，得
③
①× ，得
④
③-④，得
把 代入①，得
.
∴ 是原方程組的解.
例3 已知 ， ，求 的值.
解： .
.
， ，
∴ .
例4 已知 ， ，求 的值.
解： ， .
.
(二)隨堂練習(xí)
1.教材中P206中8.
2.解不等式： .
解：
∴ .
3.已知 ， ，求 的值.
解：3. ，或 .
.
∴
.
4.已知 ， ，求： 的值.
解 4.
.
5.已知 ，求 的值.
解 5. .
.
6.不求方根的值比較 與 的大小.
解 6.∵
∴
∴
(三)總結(jié)、擴(kuò)展
根據(jù)已知條件，求一個(gè)代數(shù)的值，要注意條件或代數(shù)式的化簡(jiǎn)，有時(shí)條件和要求的代數(shù)式都需要化簡(jiǎn)，當(dāng)把條件化簡(jiǎn)后，代數(shù)式的化簡(jiǎn)要朝著條件化簡(jiǎn)的結(jié)果去化簡(jiǎn).
(四)布置作業(yè)
教材中P207B組1、3和補(bǔ)充作業(yè) .
補(bǔ)充作業(yè) ：
1.已知 ，求 的值.
2.已知 ， ，求 的值.
(五)板書(shū) 設(shè)計(jì)
標(biāo) 題
1.例題…… 3.例題……
2.練習(xí)題 4.練習(xí)題
八、背景知識(shí)與課外閱讀
二次根式的混和運(yùn)算方法和順序
1.方法 (1)應(yīng)用二次根式乘法、除法和加減法運(yùn)算法則.
(2)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)運(yùn)算律仍適用.
(3)二次根式的乘法，與多項(xiàng)式的乘法相類似，遇運(yùn)用多項(xiàng)式乘法公式時(shí)，也可以運(yùn)用乘法公式.
2.順序 先乘方、后乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的數(shù).
