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數(shù)學(xué)必修二第四章知識點

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不去耕耘,不去播種,再肥的沃土也長不出莊稼,不去奮斗,不去創(chuàng)造,再美的青春也結(jié)不出碩果。接下來小編在這里給大家分享一些關(guān)于人教版數(shù)學(xué)必修一知識點,供大家學(xué)習(xí)和參考,希望對大家有所幫助。

人教版數(shù)學(xué)必修一知識點

【一】

一、集合有關(guān)概念

1.集合的含義

2.集合的中元素的三個特性:

(1)元素的確定性,

(2)元素的互異性,

(3)元素的無序性,

3.集合的表示:{…}如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法:列舉法與描述法。

?注意:常用數(shù)集及其記法:

非負整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N

正整數(shù)集N_N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R

1)列舉法:{a,b,c……}

2)描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}

3)語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

4)Venn圖:

4、集合的分類:

(1)有限集含有有限個元素的集合

(2)無限集含有無限個元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}

二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系—子集

注意:有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

2.“相等”關(guān)系:A=B(5≥5,且5≤5,則5=5)

實例:設(shè)A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”

即:①任何一個集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A?B那就說集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA)

③如果A?B,B?C,那么A?C

④如果A?B同時B?A那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

?有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集

三、集合的運算

運算類型交集并集補集

定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作AB(讀作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}.

由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集.記作:AB(讀作‘A并B’),即AB={x|xA,或xB}).

設(shè)S是一個集合,A是S的一個子集,由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集(或余集)

例題:

1.下列四組對象,能構(gòu)成集合的是()

A某班所有高個子的學(xué)生B的藝術(shù)家C一切很大的書D倒數(shù)等于它自身的實數(shù)

2.集合{a,b,c}的真子集共有個

3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0},則M與N的關(guān)系是.

4.設(shè)集合A=,B=,若AB,則的取值范圍是

5.50名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實驗,已知物理實驗做得正確得有40人,化學(xué)實驗做得正確得有31人,

兩種實驗都做錯得有4人,則這兩種實驗都做對的有人。

6.用描述法表示圖中陰影部分的點(含邊界上的點)組成的集合M=.

7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值

二、函數(shù)的有關(guān)概念

1.函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.

注意:

1.定義域:能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。

求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是:

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;

(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零;

(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.

(6)指數(shù)為零底不可以等于零,

(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.

相同函數(shù)的判斷方法:①表達式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān));②定義域一致(兩點必須同時具備)

(見課本21頁相關(guān)例2)

2.值域:先考慮其定義域

(1)觀察法

(2)配方法

(3)代換法

3.函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義:在平面直角坐標系中,以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標,函數(shù)值y為縱坐標的點P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點的坐標(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標的點(x,y),均在C上.

(2)畫法

A、描點法:

B、圖象變換法

常用變換方法有三種

1)平移變換

2)伸縮變換

3)對稱變換

4.區(qū)間的概念

(1)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間

(2)無窮區(qū)間

(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.

5.映射

一般地,設(shè)A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有確定的元素y與之對應(yīng),那么就稱對應(yīng)f:AB為從集合A到集合B的一個映射。記作f:A→B

6.分段函數(shù)

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。

(2)各部分的自變量的取值情況.

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集.

補充:復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

二.函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))

(1)增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1,x2,當(dāng)x1

如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當(dāng)x1f(x2),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.

注意:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);

(2)圖象的特點

如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.

(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

(A)定義法:

○1任取x1,x2∈D,且x1

○2作差f(x1)-f(x2);

○3變形(通常是因式分解和配方);

○4定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);

○5下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).

(B)圖象法(從圖象上看升降)

(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律:“同增異減”

注意:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

8.函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))

(1)偶函數(shù)

一般地,對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數(shù).

(2).奇函數(shù)

一般地,對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函數(shù).

(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.

利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟:

○1首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其是否關(guān)于原點對稱;

○2確定f(-x)與f(x)的關(guān)系;

○3作出相應(yīng)結(jié)論:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)是偶函數(shù);若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數(shù).

(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;

(3)利用定理,或借助函數(shù)的圖象判定.

9、函數(shù)的解析表達式

(1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法,要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時,一是要求出它們之間的對應(yīng)法則,二是要求出函數(shù)的定義域.

(2)求函數(shù)的解析式的主要方法有:

1)湊配法

2)待定系數(shù)法

3)換元法

4)消參法

10.函數(shù)(小)值(定義見課本p36頁)

○1利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的(小)值

○2利用圖象求函數(shù)的(小)值

○3利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的(小)值:

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有值f(b);

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b);

例題:

1.求下列函數(shù)的定義域:

⑴⑵

2.設(shè)函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域為__

3.若函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域是

4.函數(shù),若,則=

6.已知函數(shù),求函數(shù),的解析式

7.已知函數(shù)滿足,則=。

8.設(shè)是R上的奇函數(shù),且當(dāng)時,,則當(dāng)時=

在R上的解析式為

9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:

⑴(2)

10.判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明你的結(jié)論.

11.設(shè)函數(shù)判斷它的奇偶性并且求證

【二】

1、函數(shù)零點的定義

(1)對于函數(shù))(xfy,我們把方程0)(xf的實數(shù)根叫做函數(shù))(xfy的零點。

(2)方程0)(xf有實根?函數(shù)()yfx的圖像與x軸有交點?函數(shù)()yfx有零點。因此判斷一個函數(shù)是否有零點,有幾個零點,就是判斷方程0)(xf是否有實數(shù)根,有幾個實數(shù)根。函數(shù)零點的求法:解方程0)(xf,所得實數(shù)根就是()fx的零點(3)變號零點與不變號零點

①若函數(shù)()fx在零點0x左右兩側(cè)的函數(shù)值異號,則稱該零點為函數(shù)()fx的變號零點。②若函數(shù)()fx在零點0x左右兩側(cè)的函數(shù)值同號,則稱該零點為函數(shù)()fx的不變號零點。

③若函數(shù)()fx在區(qū)間,ab上的圖像是一條連續(xù)的曲線,則0)()(

2、函數(shù)零點的判定

(1)零點存在性定理:如果函數(shù))(xfy在區(qū)間],[ba上的圖象是連續(xù)不斷的曲線,并且有()()0fafb,那么,函數(shù))(xfy在區(qū)間,ab內(nèi)有零點,即存在),(0bax,使得0)(0xf,這個0x也就是方程0)(xf的根。

(2)函數(shù))(xfy零點個數(shù)(或方程0)(xf實數(shù)根的個數(shù))確定方法

①代數(shù)法:函數(shù))(xfy的零點?0)(xf的根;②(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù))(xfy的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點。

(3)零點個數(shù)確定

0)(xfy有2個零點?0)(xf有兩個不等實根;0)(xfy有1個零點?0)(xf有兩個相等實根;0)(xfy無零點?0)(xf無實根;對于二次函數(shù)在區(qū)間,ab上的零點個數(shù),要結(jié)合圖像進行確定.

3、二分法

(1)二分法的定義:對于在區(qū)間[,]ab上連續(xù)不斷且()()0fafb的函數(shù)()yfx,通過不斷地把函數(shù)()yfx的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點的近似值的方法叫做二分法;

(2)用二分法求方程的近似解的步驟:

①確定區(qū)間[,]ab,驗證()()0fafb,給定精確度e;

②求區(qū)間(,)ab的中點c;③計算()fc;

(ⅰ)若()0fc,則c就是函數(shù)的零點;

(ⅱ)若()()0fafc,則令bc(此時零點0(,)xac);(ⅲ)若()()0fcfb,則令ac(此時零點0(,)xcb);

④判斷是否達到精確度e,即ab,則得到零點近似值為a(或b);否則重復(fù)②至④步.

人教版數(shù)學(xué)必修一學(xué)習(xí)方法

課后鞏固

很多學(xué)生在課后的學(xué)習(xí)過程中不注重鞏固,只是覺得課堂上的一些知識就足夠了,其實這是錯誤的。高中數(shù)學(xué)知識豐富,不像初中數(shù)學(xué)那么簡單,卻有著豐富的內(nèi)涵。如果它不能進一步挖掘,那么它只是掌握這些知識的表面。

做練習(xí)是必要的,但有些學(xué)生只是做練習(xí),而不是鞏固這些知識,把知識擴展到做練習(xí),經(jīng)常是在練習(xí)完成后完成練習(xí)。這和中學(xué)問題沒有什么區(qū)別。事實上,我們也應(yīng)該把在這個練習(xí)中使用的知識聯(lián)系起來,這樣我們才能理解正在使用的知識,并且能夠掌握更多的知識。也可以發(fā)現(xiàn)知識點是關(guān)鍵,也可以發(fā)現(xiàn)如何鏈接相關(guān)知識的難題。

人教版數(shù)學(xué)必修一學(xué)習(xí)技巧

數(shù)學(xué)不是靠老師教會的,而是在老師的引導(dǎo)下,靠自己主動的思維活動去獲取的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一定要講究“活”,只看書不做題不行,只埋頭做題不總結(jié)積累也不行。記數(shù)學(xué)筆記,特別是對概念理解的不同側(cè)面和數(shù)學(xué)規(guī)律,教師在課堂中拓展的課外知識。記錄下來本章你覺得最有價值的思想方法或例題,以及你還存在的未解決的問題,以便今后將其補上。

要建立數(shù)學(xué)糾錯本。把平時容易出現(xiàn)錯誤的知識或推理記載下來,以防再 犯。爭取做到:找錯、析錯、改錯、防錯。達到:能從反面入手深入理解正確東西;能由果朔因把錯誤原因弄個水落石出、以便對癥下藥;解答問題完整、推理嚴密。


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