考試時，會做的題目當然要力求做對、做全、得滿分，而更多的問題是對不能全面完成的題目如何分段得分。下面是小編為大家整理的有關(guān)初三年級上冊數(shù)學期中考試試卷及答案 ，希望對你們有幫助!

初三年級上冊數(shù)學期中考試試卷及答案

一、選擇題(本題共32分，每小題4分)下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的.

1.已知 = ，則x的值是(　　)

A. B. C. D.

考點： 比例的性質(zhì).

專題： 計算題.

分析： 根據(jù)內(nèi)項之積等于外項之積得到2x=15，然后解一次方程即可.

解答： 解：∵ = ，

∴2x=15，

∴x= .

故選B.

點評： 本題是基礎(chǔ)題，考查了比例的基本性質(zhì)，比較簡單.

2.已知⊙O的半徑是4，OP=3，則點P與⊙O的位置關(guān)系是(　　)

A. 點P在圓內(nèi) B. 點P在圓上 C. 點P在圓外 D. 不能確定

考點： 點與圓的位置關(guān)系.

分析： 點在圓上，則d=r;點在圓外，d>r;點在圓內(nèi)，d<r(d即點到圓心的距離，r即圓的半徑).< p="">

解答： 解：∵OP=3<4，故點P與⊙O的位置關(guān)系是點在圓內(nèi).

故選A.

點評： 本題考查了點與圓的位置關(guān)系，注意掌握點和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的等價關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

3.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，則sinB的值是(　　)

A. B. C. D.

考點： 銳角三角函數(shù)的定義.

分析： 首先根據(jù)勾股定理求得AC的長，然后利用正弦函數(shù)的定義即可求解.

解答： 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，

∴AC= = =3，

∴sinB= = .

故選D.

點評： 本題考查了三角函數(shù)的定義，求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化成直角三角形的邊長的比.

4.如果反比例函數(shù)y= 在各自象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，那么m的取值范圍是(　　)

A. m<0 B. m>0 C. m<﹣1 D. m>﹣1

考點： 反比例函數(shù)的性質(zhì).

分析： 如果反比例函數(shù)y= 在各自象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，那么m的取值范圍是(　　)

解答： 解：∵反比例函數(shù)y= 的圖象在所在象限內(nèi)，y的值隨x值的增大而減小，

∴m+1>0，解得m>﹣1.

故選D.

點評： 本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵.

5.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若∠AOB=100°，則∠ACB的度數(shù)是(　　)

A. 40° B. 50° C. 60° D. 80°

考點： 圓周角定理.

分析： 已知⊙O是△ABC的外接圓，∠AOB=100°，根據(jù)圓周角定理可求得∠ACB的度數(shù).

解答： 解：∵⊙O是△ABC的外接圓，∠AOB=100°，

∴∠ACB= ∠AOB= ×100°=50°.

故選B.

點評： 本題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半.

6.一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個面上分別刻有1、2、3、4、5、6的點數(shù)，擲這個骰子一次，則擲得面朝上的點數(shù)為奇數(shù)的概率是(　　)

A. B. C. D.

考點： 概率公式.

分析： 先統(tǒng)計出奇數(shù)點的個數(shù)，再根據(jù)概率公式解答.

解答： 解：∵正方體骰子共六個面，點數(shù)為1，2，3，4，5，6，奇數(shù)為1，3，5，

∴點數(shù)為奇數(shù)的概率為： = .

故選：C.

點評： 此題主要考查了概率公式，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

7.將拋物線y=5x2先向左平移2個單位，再向上平移3個單位后得到新的拋物線，則新拋物線的表達式是(　　)

A. y=5(x+2)2+3 B. y=5(x﹣2)2+3 C. y=5(x﹣2)2﹣3 D. y=5(x+2)2﹣3

考點： 二次函數(shù)圖象與幾何變換.

專題： 幾何變換.

分析： 先確定拋物線y=5x2的頂點坐標為(0，0)，再利用點平移的規(guī)律得到點(0，0)平移后所得對應(yīng)點的坐標，然后根據(jù)頂點式寫出平移后的拋物線解析式.

解答： 解：拋物線y=5x2的頂點坐標為(0，0)，把點(0，0)向左平移2個單位，再向上平移3個單位后得到對應(yīng)點的坐標為(﹣2，3)，所以新拋物線的表達式是y=5(x+2)2+3.

故選A.

點評： 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式;二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式.

8.如圖，等邊△ABC邊長為2，動點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿A→B→C→A的方向運動，到達點A時停止.設(shè)運動時間為x秒，y=PC，則y關(guān)于x函數(shù)的圖象大致為(　　)

A. B. C. D.

考點： 動點問題的函數(shù)圖象.

分析： 分段討論，當0≤x≤2時，作PQ⊥AC，根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理求出AQ、PQ、CQ、PC2;當2<x<4時，pc在bc上，是一次函數(shù);當4<x≤6時，pc在ac上，是一次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式分析即可得出結(jié)論.< p="">

解答： 解：當0≤x≤2時，作PQ⊥AC，

∵AP=x，∠A=60°

∴AQ= ，PQ= ，

∴CQ=2﹣ ，

∴PC= = ，

∴PC2=x2﹣2x+4=(x﹣1)2+3;

當2<x<4時，pc=4﹣x，< p="">

當4<x≤6時，pc=2﹣(6﹣x)=x﹣4，< p="">

故選：C.

點評： 本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖形，分段討論，列出每段函數(shù)的解析式是解決問題的關(guān)鍵.

二、填空題：(本題共16分，每小題4分)

9.扇形的半徑為9，且圓心角為120°，則它的弧長為　6π　.

考點： 弧長的計算.

分析： 直接利用弧長的計算公式計算即可.

解答： 解：弧長是： =6π.

故答案是：6π.

點評： 本題考查了弧長的計算公式，正確記憶公式是關(guān)鍵.

10.三角尺在燈泡O的照射下在墻上形成影子(如圖所示).現(xiàn)測得OA=20cm，OA′=50cm，這個三角尺的周長與它在墻上形成的影子的周長的比是　2：5　.

考點： 相似三角形的應(yīng)用.

分析： 由題意知三角尺與其影子相似，它們周長的比就等于相似比.

解答： 解：∵ ，

∴三角尺的周長與它在墻上形成的影子的周長的比是 .

點評： 本題考查相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的周長的比等于相似比.

11.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸是直線x= ，在下列結(jié)論中，正確的是　③⑤　.(請將正確的序號填在橫線上)

①a<0;②c<﹣1; ③2a+3b=0;④b2﹣4ac<0;⑤當x= 時，y的最小值為 .

考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

分析： 根據(jù)二次函數(shù)的圖象開口方向即可判斷A;由二次函數(shù)的圖象與y軸的交點位置即可判斷B;把x=﹣1代入二次函數(shù)的解析式即可判斷C;根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸即可求出D.

解答： 解：①∵二次函數(shù)的圖象開口向上，

∴a>0，故本選項錯誤;

②∵二次函數(shù)的圖象與y軸的交點在點(0，﹣1)的上方，

∴c>﹣1，故本選項錯誤;

③、∵二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線x= ，

∴﹣ = ，

﹣3b=2a，

2a+3b=0，故本選項正確;

④∵二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，

∴b2﹣4ac>0，故本選項錯誤;

⑤∵二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線x= ，

∴﹣ = ，

∴﹣3b=2a，b=﹣ a，

∴y最小值= a+ b+c= a+ ×(﹣ a)+c= ;

即y的最小值為 ，故本選項正確;

故答案為：③⑤.

點評： 本題考查了二次函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目，注意用了數(shù)形結(jié)合思想，二次函數(shù)的圖象開口方向決定a的符號，二次函數(shù)的圖形與y軸的交點位置決定c的符號，根據(jù)二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線x= 得出﹣ = ，把x= 代入y=ax2+bx+c(a≠0)得出y= a+ b+c等等.

12.如圖，在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD頂點A(﹣1，﹣1)、B(﹣3，﹣1). 我們規(guī)定“把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向右平移2個單位”為一次變換.

(1)如果正方形ABCD經(jīng)過1次這樣的變換得到正方形A1B1C1D1，那么B1的坐標是　(﹣1，1)　.

(2)如果正方形ABCD經(jīng)過2014次這樣的變換得到正方形A2014B2014C2014D2014，那么B2014的坐標是　(4025，﹣1)　.

考點： 規(guī)律型：點的坐標.

分析： (1)把正方形ABCD先沿x軸翻折，則點B關(guān)于x軸對稱，得到B點的坐標為：(﹣3，1)，再向右平移2個單位”后點B的坐標為：(﹣3+2，1)，即B1(﹣1，1).

(2)首先由正方形ABCD，點A、B的坐標分別是(﹣1，﹣1)、(﹣3，﹣1)，然后根據(jù)題意求得第1次、2次、3次變換后的點B的對應(yīng)點的坐標，即可得規(guī)律：第n次變換后的點B的對應(yīng)點的為：當n為奇數(shù)時為(2n﹣3，1)，當n為偶數(shù)時為(2n﹣3，﹣1)，繼而求得把正方形ABCD經(jīng)過連續(xù)2014次這樣的變換得到正方形A′B′C′D′，則點B的對應(yīng)點B′的坐標.

解答： 解：(1)∵正方形ABCD，點A、B的坐標分別是(﹣1，﹣1)、(﹣3，﹣1)，

∴根據(jù)題意得：第1次變換后的點B的對應(yīng)點的坐標為(﹣3+2，1)，即B1(﹣1，1)，

(2)第2次變換后的點B的對應(yīng)點的坐標為：(﹣1+2，﹣1)，即(1，﹣1)，

第3次變換后的點B的對應(yīng)點的坐標為(1+2，1)，即(3，1)，

第n次變換后的點B的對應(yīng)點的為：當n為奇數(shù)時為(2n﹣3，1)，當n為偶數(shù)時為(2n﹣3，﹣1)，

∴把正方形ABCD經(jīng)過連續(xù)2014次這樣的變換得到正方形A′B′C′D′，則點B的對應(yīng)點B′的坐標是：(4025，﹣1).

故答案為：(﹣1，1);(4025，﹣1).

點評： 此題考查了對稱與平移的性質(zhì).此題難度較大，屬于規(guī)律性題目，注意得到規(guī)律：第n次變換后的點B的對應(yīng)點的坐標為：當n為奇數(shù)時為(2n﹣3，1)，當n為偶數(shù)時為(2n﹣3，﹣1)是解此題的關(guān)鍵.

三、解答題：(本題共30分，每題5分)

13.計算：tan30°﹣cos60°×tan45°+sin30°.

考點： 特殊角的三角函數(shù)值.

分析： 將tan30°= ，cos60°= ，tan45°=1，sin30°= 分別代入運算，然后合并即可得出答案.

解答： 解：原式= = .

點評： 本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題，熟練記憶一些特殊角的三角函數(shù)值是關(guān)鍵.

14.已知拋物線y=x2﹣4x+3.

(1)用配方法將y=x2﹣4x+3化成y=a(x﹣h)2+k的形式;

(2)求出該拋物線的對稱軸和頂點坐標;

(3)直接寫出當x滿足什么條件時，函數(shù)y<0.

考點： 二次函數(shù)的三種形式;二次函數(shù)的性質(zhì).

分析： (1)由于二次項系數(shù)是1，所以直接加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點式;

(2)根據(jù)二次函數(shù)y=a(x﹣h)2+k的頂點坐標為(h，k)，對稱軸為x=h求解即可;

(3)先求出方程x2﹣4x+3=0的兩根，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

解答： 解：(1)y=x2﹣4x+3=(x2﹣4x+4)﹣4+3=(x﹣2)2﹣1;

(2)∵y=(x﹣2)2﹣1，

∴對稱軸為直線x=2，頂點坐標為(2，﹣1);

(3)解方程x2﹣4x+3=0，得x=1或3.

∵y=x2﹣4x+3，a=1>0，

∴拋物線開口向上，

∴當1<x<3時，函數(shù)y<0.< p="">

點評： 本題考查了二次函數(shù)解析式的三種形式，二次函數(shù)的性質(zhì)，難度適中.利用配方法將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在△ABC中，D是AB上一點，且∠ABC=∠ACD.

(1)求證：△ACD∽△ABC;

(2)若AD=3，AB=7，求AC的長.

考點： 相似三角形的判定與性質(zhì).

分析： (1)根據(jù)兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似即可證明△ADC∽△ACB;

(2)根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出AC：AB=AD：AC，即AC2=AB?AD，將數(shù)值代入計算即可求出AC的長.

解答： (1)證明：在△ADC與△ACB中，

∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，

∴△ACD∽△ABC;

(2)解：∵△ACD∽△ABC，

∴AC：AB=AD：AC，

∴AC2=AB?AD，

∵AD=2，AB=7，

∴AC2=7×2=14，

∴AC= .

點評： 本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識點為：

①如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似(簡敘為兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似);

②相似三角形的對應(yīng)邊成比例.

16.如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓的頂部B的仰角為45°，看這棟高樓底部C的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離AD為20m，求這棟樓的高度.(結(jié)果保留根號)

考點： 解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

分析： 在Rt△ABD中，求出BD，在Rt△ACD中，求出CD，二者相加即為樓高BC.

解答： 解：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，∠BAD=45°，

∴BD=AD=20.

在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，

∴CD= AD=20 .

∴BC=BD+CD=20+20 (m).

答：這棟樓高為(20+20 )m.

點評： 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣﹣仰角俯角問題，將原三角形轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于點E.

(1)求證：∠BCO=∠D;

(2)若CD= ，AE=2，求⊙O的半徑.

考點： 圓周角定理;勾股定理;垂徑定理.

專題： 計算題.

分析： (1)由OB=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由同弧所對的圓周角相等得到一對角相等，等量代換即可得證;

(2)由弦CD與直徑AB垂直，利用垂徑定理得到E為CD的中點，求出CE的長，在直角三角形OCE中，設(shè)圓的半徑OC=r，OE=OA﹣AE，表示出OE，利用勾股定理列出關(guān)于r的方程，求出方程的解即可得到圓的半徑r的值.

解答： (1)證明：如圖.

∵OC=OB，

∴∠BCO=∠B.

∵∠B=∠D，

∴∠BCO=∠D;

(2)解：∵AB是⊙O的直徑，且CD⊥AB于點E，

∴CE= CD= ×4 =2 ，

在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，

設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，OE=OA﹣AE=r﹣2，

∴r2=(2 )2+(r﹣2)2，

解得：r=3，

∴⊙O的半徑為3.

點評： 此題考查了垂徑定理，勾股定理，以及圓周角定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵.

18.如圖，一次函數(shù)y=kx+2的圖象與x軸交于點B，與反比例函數(shù) 的圖象的一個交點為A(2，3).

(1)分別求出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;

(2)過點A作AC⊥x軸，垂足為C，若點P在反比例函數(shù)圖象上，且△PBC的面積等于18，求P點的坐標.

考點： 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題;三角形的面積.

專題： 計算題.

分析： (1)先將點A(2，3)代入反比例函數(shù) 和一次函數(shù)y=kx+2，求得m、k的值，

(2)可求得點B的坐標，設(shè)P(x，y)，由S△PBC=18，即可求得x，y的值.

解答： 解：(1)把A(2，3)代入 ，∴m=6.

∴ .(1分)

把A(2，3)代入y=kx+2，

∴2k+2=3.∴ .

∴ .(2分)

(2)令 ，解得x=﹣4，即B(﹣4，0).

∵AC⊥x軸，∴C(2，0).

∴BC=6.(3分)

設(shè)P(x，y)，

∵S△PBC= =18，

∴y1=6或y2=﹣6.

分別代入 中，

得x1=1或x2=﹣1.

∴P1(1，6)或P2(﹣1，﹣6).(5分)

點評： 本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，利用待定系數(shù)法求解析式是解此題的關(guān)鍵.

四、解答題：(本題共20分，每題5分)

19.如圖，在銳角△ABC中，AB=AC，BC=10，sinA= ，

(1)求tanB的值;

(2)求AB的長.

考點： 解直角三角形.

專題： 計算題.

分析： (1)過點C作CD⊥AB，垂足為D，設(shè)CD=3k，則AB=AC=5k，繼而可求出BD=k，從而求出tanB的值;

(2)在Rt△BCD中，先求出BC= k=10，求出k的值，繼而得出AB的值.

解答： 解：(1)過點C作CD⊥AB，垂足為D，(1分)

在Rt△ACD中， ，(1分)

設(shè)CD=3k，則AB=AC=5k，(1分)

∴ .(1分)

在△BCD中，∵BD=AB﹣AD=5k﹣4k=k.(1分)

∴ .(1分)

(2)在Rt△BCD中， ，(1分)

∵BC=10，∴ .(1分)

∴ .(1分)

∴AB= .(1分)

點評： 本題考查了解直角三角形的知識，過點C作CD⊥AB，構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵.

20.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(﹣3，0)和(1，0).

(1)求拋物線的表達式;

(2)在給定的坐標系中，畫出此拋物線;

(3)設(shè)拋物線頂點關(guān)于y軸的對稱點為A，記拋物線在第二象限之間的部分為圖象G.點B是拋物線對稱軸上一動點，如果直線AB與圖象G有公共點，請結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出點B縱坐標t的取值范圍.

考點： 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)的圖象;二次函數(shù)的性質(zhì).

分析： (1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得;

(2)正確畫出圖形;

(3)通過圖象可以看出點B縱坐標t的取值范圍.

解答： 解：(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(﹣3，0)和(1，0).

∴ ，

解得 ，

∴拋物線的表達式為y=﹣x2﹣2x+3.

(2)此拋物線如圖所示.

(3)2<t≤4.< p="">

如圖，

由圖象可知點B縱坐標t的取值范圍為2<t≤4.< p="">

點評： 本題考查了待定系數(shù)法求解析式，以及畫圖的能力和識別圖形的能力，要熟練掌握.

21.如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，且BF是⊙O的切線，BF交AC的延長線于F.

(1)求證：∠CBF= ∠CAB.

(2)若AB=5，sin∠CBF= ，求BC和BF的長.

考點： 切線的性質(zhì).

分析： (1)連接AE，由圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合切線的性質(zhì)可證得∠CBF=∠BAE，可證得結(jié)論;

(2)由(1)結(jié)論結(jié)合正弦值，在Rt△ABE中可求得BE，可求出BC，過C作CM⊥BF，在Rt△BCM中可求得BM，CM，再利用平行線分線段成比例可求得BF.

解答： (1)證明：如圖1，連結(jié)AE.

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∴∠BAE= ∠BAC.

∵BF是⊙O的切線，

∴∠CBF=∠BAE，

∴∠CBF= ∠CAB.

(2)解：由(1)可知∠CBF=∠BAE，

∴sin∠BAE=sin∠CBF= ，

在Rt△ABE中，sin∠BAE= ，

∴ = ，

∴BE= ，

∴BC=2 ，

如圖2，過C作CM⊥BF于點M，

則sin∠CBF= = ，

即 = ，解得CM=2，由勾股定理可求得BM=4，

又∵AB∥CM，

∴ = ，

即 = ，解得BF= .

點評： 本題主要考查切線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義等知識點，掌握弦切角定理及三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵，注意平行線分線段定理的應(yīng)用.

22.閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個問題：如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB度數(shù).

小明發(fā)現(xiàn)，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造△AP′C，連接PP′，得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決(如圖2).

請回答：圖1中∠APB的度數(shù)等于　150°　，圖2中∠PP′C的度數(shù)等于　90°　.

參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3，在平面直角坐標系xOy中，點A坐標為(﹣ ，1)，連接AO.如果點B是x軸上的一動點，以AB為邊作等邊三角形ABC.當C(x，y)在第一象限內(nèi)時，求y與x之間的函數(shù)表達式.

考點： 幾何變換綜合題.

分析： 閱讀材料：把△APB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得P′A=PA，P′C=PB，∠PAP′=60°，然后求出△APP′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出PP′=PA=3，∠AP′P=60°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′C=90°，然后求出∠AP′C，即為∠APB的度數(shù);再利用全等三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)得出DF= CF，進而得出函數(shù)解析式即可.

解答： 解：閱讀材料：把△APB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，P′A=PA=3，P′D=PB=4，∠PAP′=60°，

∴△APP′是等邊三角形，

∴PP′=PA=3，∠AP′P=60°，

∵PP′2+P′C2=32+42=25，PC2=52=25，

∴PP′2+P′C2=PC2，

∴∠PP′C=90°，

∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°;

故∠APB=∠AP′C=150°;

故答案為：150°;90°;

如圖3，在y軸上截取OD=2，作CF⊥y軸于F，AE⊥x軸于E，連接AD和CD，

∵點A的坐標為(﹣ ，1)，

∴tan∠AOE= ，

∴AO=OD=2，∠AOE=30°，

∴∠AOD=60°.

∴△AOD是等邊三角形，

又∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠CAB=∠OAD=60°，

∴∠CAD=∠OAB，

∴△ADC≌△AOB.

∴∠ADC=∠AOB=150°，又∵∠ADF=120°，

∴∠CDF=30°.

∴DF= CF.

∵C(x，y)且點C在第一象限內(nèi)，

∴y﹣2= x，

∴y= x+2(x>0).

點評： 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理以及勾股定理逆定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出直角三角形與全等三角形是解題的關(guān)鍵.

五、解答題：(本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分)

23.已知關(guān)于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0(m≠0).

(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根;

(2)若方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值;

(3)在(2)的條件下，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx2+(3m+1)x+3的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象.請結(jié)合這個新的圖象回答：當直線y=x+b與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍.

考點： 二次函數(shù)綜合題.

分析： (1)利用方程mx2+(3m+1)x+3=0(m≠0)的△判定即可;

(2)由求根公式，得x1=﹣3，x2=﹣ ，再由方程的兩個根都是整數(shù)，且m為正整數(shù)，可得m的值;

(3)正確畫出圖形，分兩種情況求解即可.

解答： (1)證明：∵m≠0，

∴mx2+(3m+1)x+3=0是關(guān)于x的一元二次方程.

∴△=(3m+1)2﹣12m

=(3m﹣1)2.

∵(3m﹣1)2≥0，

∴方程總有兩個實數(shù)根.

(2)解：由求根公式，得x1=﹣3，x2=﹣ .

∵方程的兩個根都是整數(shù)，且m為正整數(shù)，

∴m=1.

(3)解：∵m=1時，

∴y=x2+4x+3.

∴拋物線y=x2+4x+3與x軸的交點為A(﹣3，0)、B(﹣1，0).

依題意翻折后的圖象如圖所示，

當直線y=x+b經(jīng)過A點時，可得b=3.

當直線y=x+b經(jīng)過B點時，可得b=1.

∴1<b<3.< p="">

當直線y=x+b與y=﹣x2﹣4x﹣3

的圖象有公共點時，

可得x+b=﹣x2﹣4x﹣3，

∴x2+5x+3+b=0，

∴△=52﹣4(3+b)=0，

∴b= .

∴b> .

綜上所述，b的取值范圍是1<b .

點評： 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是觀察、分析、正確的畫出二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題.

24.矩形ABCD一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得點B落在CD邊上的點P處.

(1)如圖1，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP、OP、OA.

①求證：△OCP∽△PDA;

②若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長.

(2)如圖2，在(1)的條件下，擦去AO和OP，連接BP.動點M在線段AP上(不與點P、A重合)，動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連接MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E.試問動點M、N在移動的過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化?若不變，求出線段EF的長度;若變化，說明理由.

考點： 相似形綜合題.

分析： (1)①先證出∠C=∠D=90°，再根據(jù)∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可證出△OCP∽△PDA;

②根據(jù)△OCP與△PDA的面積比為1：4，得出CP= AD=4，設(shè)OP=x，則CO=8﹣x，由勾股定理得 x2=(8﹣x)2+42，求出x，最后根據(jù)AB=2OP即可求出邊AB的長;

(2)作MQ∥AN，交PB于點Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根據(jù)ME⊥PQ，得出EQ= PQ，根據(jù)∠QMF=∠BNF，證出△MFQ≌△NFB，得出QF= QB，

再求出EF= PB，由(1)中的結(jié)論求出PB= =4 ，最后代入EF= PB即可得出線段EF的長度不變.

解答： 解：(1)①如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∵由折疊可得∠APO=∠B=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠2=∠3，

又∵∠D=∠C，

∴△OCP∽△PDA;

②如圖1，∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，

∴ = = = ，

∴CP= AD=4，

設(shè)OP=x，則CO=8﹣x，

在Rt△PCO中，∠C=90°，

由勾股定理得 x2=(8﹣x)2+42，

解得：x=5，

∴AB=AP=2OP=10，

∴邊AB的長為10;

(2)作MQ∥AN，交PB于點Q，如圖2，

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP=∠MQP.

∴MP=MQ，

∵BN=PM，

∴BN=QM.

∵MP=MQ，ME⊥PQ，

∴EQ= PQ.

∵MQ∥AN，

∴∠QMF=∠BNF，

在△MFQ和△NFB中，

，

∴△MFQ≌△NFB(AAS).

∴QF= QB，

∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB，

由(1)中的結(jié)論可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，

∴PB= =4 ，

∴EF= PB=2 ，

∴在(1)的條件下，當點M、N在移動過程中，線段EF的長度不變，它的長度為2 .

點評： 此題考查了相似形綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是做出輔助線，找出全等和相似的三角形.

25.我們規(guī)定：函數(shù)y= (a、b、k是常數(shù)，k≠ab)叫奇特函數(shù).當a=b=0時，奇特函數(shù)y= 就是反比例函數(shù)y= (k是常數(shù)，k≠0).

(1)如果某一矩形兩邊長分別是2和3，當它們分別增加x和y后，得到新矩形的面積為8.求y與x之間的函數(shù)表達式，并判斷它是否為奇特函數(shù);

(2)如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點A、C坐標分別為(6，0)、(0，3)，點D是OA中點，連接OB、CD交于E，若奇特函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過點B、E，求該奇特函數(shù)的表達式;

(3)把反比例函數(shù)y= 的圖象向右平移4個單位，再向上平移　2　個單位就可得到(2)中得到的奇特函數(shù)的圖象;

(4)在(2)的條件下，過線段BE中點M的一條直線l與這個奇特函數(shù)圖象交于P，Q兩點(P在Q右側(cè))，如果以B、E、P、Q為頂點組成的四邊形面積為16，請直接寫出點P的坐標.

考點： 反比例函數(shù)綜合題;待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式;反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義;平行四邊形的判定與性質(zhì);中心對稱圖形.

專題： 壓軸題;新定義.

分析： (1)只需運用矩形的面積公式就可求出函數(shù)關(guān)系式，從而解決問題;

(2)可先求出直線OB和直線CD的解析式，求出它們的交點E的坐標，然后只需運用待定系數(shù)法就可解決問題;

(3)只需將(2)中所求的奇特函數(shù)y= 轉(zhuǎn)化為y=2+ ，就可解決問題;

(4)將坐標原點平移到點M的位置，構(gòu)建新的坐標系，在新的坐標系中，分點P在點B的左邊和右邊兩種情況討論，只需先求出點P在新坐標系下的坐標，就可求出點P在原坐標系下的坐標.

解答： 解：(1)由題意得：(2+x)(3+y)=8.

即3+y= ，

∴y= ﹣3= .

根據(jù)定義，y= 是奇特函數(shù).

(2)如圖1，

由題意得：B(6，3)、D(3，0)，

設(shè)直線OB的解析式為y=mx，

則有6m=3，

解得：m= ，

∴直線OB的解析式為y= x.

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，

，

解得： ，

∴直線CD的解析式為y=﹣x+3.

解方程組 ，得

，

∴點E(2，1).

將點B(6，3)和E(2，1)代入y= 得

，

解得： ，

∴奇特函數(shù)的表達式為y= .

(3)∵y= = =2+ .

∴把反比例函數(shù)y= 的圖象向右平移4個單位，再向上平移2個單位，

就可得到奇特函數(shù)y= 的圖象;

故答案為：2.

(4)滿足條件的點P的坐標為(2 ， +4)或(2 +8， ).

提示：①若點P在點B的左邊，如圖2①，

以點M為原點，構(gòu)建如圖2①所示的新坐標系，

在該坐標系下該奇特函數(shù)的解析式為y′= ，點B的新坐標為(2，1).

∵直線PQ與雙曲線y′= 都是以點M為對稱中心的中心對稱圖形，

∴MP=MQ.

∵MB=ME，

∴四邊形BPEQ是平行四邊形，

∴S?BPEQ=4S△BMP=16，

∴S△BMP=4.

過點P作PG⊥x′軸于G，過點B作BH⊥x′軸于H，

根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義可得：

S△PGM=S△BHM= ×2=1，

∴S△BMP=S△PGM+S梯形BHGP﹣S△BHM=S梯形BHGP=4，

設(shè)點P在新坐標系中的坐標為(x′， )，

則有S梯形BHGP= (1+ )?(2﹣x′)=4，

解得x1′=﹣4﹣2 (舍去)，x2′=﹣4+2 ，

當x=﹣4+2 時， = = +2，

即點P在新坐標系中的坐標為(﹣4+2 ， +2)，

∴點P在原坐標系中的坐標為(﹣4+2 +4， +2+2)即(2 ， );

②若點P在點B的右邊，如圖2②，

同理可得：

點P在原坐標系中的坐標為(4+2 +4， ﹣2+2)即(2 +8， ).

點評： 本題屬于新定義型，考查了運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，求兩函數(shù)圖象的交點、平行四邊形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義等知識，運用平移坐標軸法是解決第(4)小題的關(guān)鍵.