數(shù)學(xué)考題的容量在120分鐘時(shí)間內(nèi)完成大小26個(gè)題，時(shí)間很緊張，不允許做大量細(xì)致的解后檢驗(yàn)，所以要盡量準(zhǔn)確運(yùn)算(關(guān)鍵步驟，力求準(zhǔn)確，寧慢勿快)，立足一次成功。下面是小編為大家整理的有關(guān)九年級上冊數(shù)學(xué)期中試卷及答案新人教版 ，希望對你們有幫助!

九年級上冊數(shù)學(xué)期中試卷及答案新人教版

一、選擇題(共8小題，每小題4分，滿分32分)

1.方程x2﹣3x﹣5=0的根的情況是(　　)

A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C. 沒有實(shí)數(shù)根 D. 無法確定是否有實(shí)數(shù)根

考點(diǎn)： 根的判別式.

分析： 求出b2﹣4ac的值，再進(jìn)行判斷即可.

解答： 解：x2﹣3x﹣5=0，

△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×(﹣5)=29>0，

所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選A.

點(diǎn)評： 本題考查了一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c為常數(shù)，a≠0)①當(dāng)b2﹣4ac>0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，②當(dāng)b2﹣4ac=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，③當(dāng)b2﹣4ac<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，則sinA的值為(　　)

A. B. C. D.

考點(diǎn)： 銳角三角函數(shù)的定義.

分析： 直接根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.

解答： 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，

∴sinA= = .

故選A.

點(diǎn)評： 此題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，比較簡單，用到的知識點(diǎn)：

正弦函數(shù)的定義：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA.即sinA=∠A的對邊：斜邊=a：c.

3.若如圖是某個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是(　　)

A. 長方體 B. 正方體 C. 圓柱 D. 圓錐

考點(diǎn)： 由三視圖判斷幾何體.

分析： 由主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀.

解答： 解：主視圖和左視圖都是等腰三角形，那么此幾何體為錐體，由俯視圖為圓，可得此幾何體為圓錐.

故選：D.

點(diǎn)評： 本題考查的知識點(diǎn)是三視圖，如果有兩個(gè)視圖為三角形，該幾何體一定是錐，如果有兩個(gè)矩形，該幾何體一定柱，其底面由第三個(gè)視圖的形狀決定.

4.小丁去看某場電影，只剩下如圖所示的六個(gè)空座位供他選擇，座位號分別為1號、4號、6號、3號、5號和2號.若小丁從中隨機(jī)抽取一個(gè)，則抽到的座位號是偶數(shù)的概率是(　　)

A. B. C. D.

考點(diǎn)： 概率公式.

分析： 由六個(gè)空座位供他選擇，座位號分別為1號、4號、6號、3號、5號和2號，直接利用概率公式求解即可求得答案.

解答： 解：∵六個(gè)空座位供他選擇，座位號分別為1號、4號、6號、3號、5號和2號，

∴抽到的座位號是偶數(shù)的概率是： = .

故選C.

點(diǎn)評： 此題考查了概率公式的應(yīng)用.用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

5.如圖，△ABC和△A1B1C1是以點(diǎn)O為位似中心的位似三角形，若C1為OC的中點(diǎn)，AB=4，則A1B1的長為(　　)

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

考點(diǎn)： 位似變換.

專題： 計(jì)算題.

分析： 根據(jù)位似變換的性質(zhì)得到 = ，B1C1∥BC，再利用平行線分線段成比例定理得到 = ，所以 = ，然后把OC1= OC，AB=4代入計(jì)算即可.

解答： 解：∵C1為OC的中點(diǎn)，

∴OC1= OC，

∵△ABC和△A1B1C1是以點(diǎn)O為位似中心的位似三角形，

∴ = ，B1C1∥BC，

∴ = ，

∴ = ，

即 =

∴A1B1=2.

故選B.

點(diǎn)評： 本題考查了位似變換：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.注意：①兩個(gè)圖形必須是相似形;②對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一點(diǎn);③對應(yīng)邊平行.

6.已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函數(shù)y=﹣ 的圖象上的兩點(diǎn)，若x1<0<x2，則下列結(jié)論正確的是(　　)< p="">

A. y1<0<y2 p="" y2<y1<0<="" d.="" y1<y2<0="" c.="" y2<0

考點(diǎn)： 反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

專題： 計(jì)算題.

分析： 根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到y(tǒng)1=﹣ ，y2=﹣ ，然后利用x1<0<x2即可得到y(tǒng)1與y2的大小.< p="">

解答： 解：∵A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函數(shù)y=﹣ 的圖象上的兩點(diǎn)，

∴y1=﹣ ，y2=﹣ ，

∵x1<0<x2，< p="">

∴y2<0<y1.< p="">

故選B.

點(diǎn)評： 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y= (k為常數(shù)，k≠0)的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)(x，y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k.

7.如圖，AB是半圓O的直徑，AC為弦，OD⊥AC于D，過點(diǎn)O作OE∥AC交半圓O于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB于F.若AC=2，則OF的長為(　　)

A. B. C. 1 D. 2

考點(diǎn)： 垂徑定理;全等三角形的判定與性質(zhì).

分析： 根據(jù)垂徑定理求出AD，證△ADO≌△OFE，推出OF=AD，即可求出答案.

解答： 解：∵OD⊥AC，AC=2，

∴AD=CD=1，

∵OD⊥AC，EF⊥AB，

∴∠ADO=∠OFE=90°，

∵OE∥AC，

∴∠DOE=∠ADO=90°，

∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EF=90°，

∴∠DAO=∠EOF，

在△ADO和△OFE中，

，

∴△ADO≌△OFE(AAS)，

∴OF=AD=1，

故選C.

點(diǎn)評： 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂徑定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出△ADO≌△OFE和求出AD的長，注意：垂直于弦的直徑平分這條弦.

8.如圖，在矩形ABCD中，AB<bc，ac，bd交于點(diǎn)o.點(diǎn)e為線段ac上的一個(gè)動點(diǎn)，連接de，be，過e作ef⊥bd于f，設(shè)ae=x，圖1中某條線段的長為y，若表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，則這條線段可能是圖1中的(　　)< p="">

A. 線段EF B. 線段DE C. 線段CE D. 線段BE

考點(diǎn)： 動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象.

分析： 作BN⊥AC，垂足為N，F(xiàn)M⊥AC，垂足為M，DG⊥AC，垂足為G，分別找出線段EF、CE、BE最小值出現(xiàn)的時(shí)刻即可得出結(jié)論.

解答： 解：作BN⊥AC，垂足為N，F(xiàn)M⊥AC，垂足為M，DG⊥AC，垂足為G.

由垂線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)M重合時(shí)，即AE< 時(shí)，F(xiàn)E有最小值，與函數(shù)圖象不符，故A錯(cuò)誤;

由垂線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)G重合時(shí)，即AEd> 時(shí)，DE有最小值，故B正確;

∵CE=AC﹣AE，CE隨著AE的增大而減小，故C錯(cuò)誤;

由垂線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)N重合時(shí)，即AE< 時(shí)，BE有最小值，與函數(shù)圖象不符，故D錯(cuò)誤;

故選：B.

點(diǎn)評： 本題主要考查的是動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)垂線段最短確定出函數(shù)最小值出現(xiàn)的時(shí)刻是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(共4小題，每小題4分，滿分16分)

9.如圖，已知扇形的半徑為3cm，圓心角為120°，則扇形的面積為　3π　cm2.(結(jié)果保留π)

考點(diǎn)： 扇形面積的計(jì)算.

專題： 壓軸題.

分析： 知道扇形半徑，圓心角，運(yùn)用扇形面積公式就能求出.

解答： 解：由S= 知

S= × π×32=3πcm2.

點(diǎn)評： 本題主要考查扇形面積的計(jì)算，知道扇形面積計(jì)算公式S= .

10.在某一時(shí)刻，測得一根高為2m的竹竿的影長為1m，同時(shí)測得一棟建筑物的影長為12m，那么這棟建筑物的高度為　24　m.

考點(diǎn)： 相似三角形的應(yīng)用.

分析： 根據(jù)同時(shí)同地的物高與影長成正比列式計(jì)算即可得解.

解答： 解：設(shè)這棟建筑物的高度為xm，

由題意得， = ，

解得x=24，

即這棟建筑物的高度為24m.

故答案為：24.

點(diǎn)評： 本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟記同時(shí)同地的物高與影長成正比是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，拋物線y=ax2與直線y=bx+c的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(﹣2，4)，B(1，1)，則關(guān)于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解為　x1=﹣2，x2=1　.

考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì).

專題： 數(shù)形結(jié)合.

分析： 根據(jù)二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題得到方程組 的解為 ， ，于是易得關(guān)于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解.

解答： 解：∵拋物線y=ax2與直線y=bx+c的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(﹣2，4)，B(1，1)，

∴方程組 的解為 ， ，

即關(guān)于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解為x1=﹣2，x2=1.

故答案為x1=﹣2，x2=1.

點(diǎn)評： 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(﹣ ， )，對稱軸直線x=﹣ .也考查了二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.

12.對于正整數(shù)n，定義F(n)= ，其中f(n)表示n的首位數(shù)字、末位數(shù)字的平方和.例如：F(6)=62=36，F(xiàn)(123)=f(123)=12+32=10.規(guī)定F1(n)=F(n)，F(xiàn)k+1(n)=F(Fk(n)).例如：F1(123)=F(123)=10，F(xiàn)2(123)=F(F1(123))=F(10)=1.

(1)求：F2(4)=　37　，F(xiàn)2015(4)=　26　;

(2)若F3m(4)=89，則正整數(shù)m的最小值是　6　.

考點(diǎn)： 規(guī)律型：數(shù)字的變化類.

專題： 新定義.

分析： 通過觀察前8個(gè)數(shù)據(jù)，可以得出規(guī)律，這些數(shù)字7個(gè)一個(gè)循環(huán)，根據(jù)這些規(guī)律計(jì)算即可.

解答： 解：(1)F2(4)=F(F1(4))=F(16)=12+62=37;

F1(4)=F(4)=16，F(xiàn)2(4)=37，F(xiàn)3(4)=58，

F4(4)=89，F(xiàn)5(4)=145，F(xiàn)6(4)=26，F(xiàn)7(4)=40，F(xiàn)8(4)=16，

通過觀察發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)字7個(gè)一個(gè)循環(huán)，2015是7的287倍余6，因此F2015(4)=26;

(2)由(1)知，這些數(shù)字7個(gè)一個(gè)循環(huán)，F(xiàn)4(4)=89=F18(4)，因此3m=18，所以m=6.

故答案為：(1)37，26;(2)6.

點(diǎn)評： 本題屬于數(shù)字變化類的規(guī)律探究題，通過觀察前幾個(gè)數(shù)據(jù)可以得出規(guī)律，熟練找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(共13小題，滿分72分)

13.計(jì)算：(﹣1)2015+sin30°﹣(π﹣3.14)0+( )﹣1.

考點(diǎn)： 實(shí)數(shù)的運(yùn)算;零指數(shù)冪;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值.

專題： 計(jì)算題.

分析： 原式第一項(xiàng)利用乘方的意義計(jì)算，第二項(xiàng)利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算，第三項(xiàng)利用零指數(shù)冪法則計(jì)算，最后一項(xiàng)利用負(fù)指數(shù)冪法則計(jì)算即可.

解答： 解：原式=﹣1+ ﹣1+2= .

點(diǎn)評： 此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

14.如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，BE⊥AC于E，求證：△ACD∽△BCE.

考點(diǎn)： 相似三角形的判定.

專題： 證明題.

分析： 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由AB=AC，D是BC中點(diǎn)得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再加上公共角，于是根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可得到結(jié)論.

解答： 證明：∵AB=AC，D是BC中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∵BE⊥AC，

∴∠BEC=90°，

∴∠ADC=∠BEC，

而∠ACD=∠BCE，

∴△ACD∽△BCE.

點(diǎn)評： 本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.也考查了等腰三角形的性質(zhì).

15.已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式 的值.

考點(diǎn)： 一元二次方程的解.

專題： 計(jì)算題.

分析： 把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化簡，將m2﹣2=3m代入計(jì)算即可求出值.

解答： 解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，

則原式= = =3.

點(diǎn)評： 此題考查了一元二次方程的解，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

16.拋物線y=2x2平移后經(jīng)過點(diǎn)A(0，3)，B(2，3)，求平移后的拋物線的表達(dá)式.

考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與幾何變換.

專題： 計(jì)算題.

分析： 由于拋物線平移前后二次項(xiàng)系數(shù)不變，則可設(shè)平移后的拋物線的表達(dá)式為y=2x2+bx+c，然后把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得到關(guān)于b、c的方程組，解方程組求出b、c即可得到平移后的拋物線的表達(dá)式.

解答： 解：設(shè)平移后的拋物線的表達(dá)式為y=2x2+bx+c，

把點(diǎn)A(0，3)，B(2，3)分別代入得 ，解得 ，

所以平移后的拋物線的表達(dá)式為y=2x2﹣4x+3.

點(diǎn)評： 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式;二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y= 的圖象交于A，B兩點(diǎn)，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，AC⊥x軸于點(diǎn)C，連接BC.

(1)求反比例函數(shù)的解析式;

(2)若點(diǎn)P是反比例函數(shù)y= 圖象上的一點(diǎn)，且滿足△OPC與△ABC的面積相等，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

考點(diǎn)： 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題.

分析： (1)把A點(diǎn)橫坐標(biāo)代入正比例函數(shù)可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可求得k，可求得反比例函數(shù)解析式;

(2)由條件可求得B、C的坐標(biāo)，可先求得△ABC的面積，再結(jié)合△OPC與△ABC的面積相等求得P點(diǎn)坐標(biāo).

解答： 解：

(1)把x=2代入y=2x中，得y=2×2=4，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(2，4)，

∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y= 的圖象上，

∴k=2×4=8，

∴反比例函數(shù)的解析式為y= ;

(2)∵AC⊥OC，

∴OC=2，

∵A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2，﹣4)，

∴B到OC的距離為4，

∴S△ABC=2S△ACO=2× ×2×4=8，

∴S△OPC=8，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x， )，則P到OC的距離為| |，

∴ ×| |×2=8，解得x=1或﹣1，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，8)或(﹣1，﹣8).

點(diǎn)評： 本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及函數(shù)的交點(diǎn)問題，在(1)中求得A點(diǎn)坐標(biāo)、在(2)中求得P點(diǎn)到OC的距離是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線CD的垂線，垂足為點(diǎn)E.

(1)求線段CD的長;

(2)求cos∠ABE的值.

考點(diǎn)： 解直角三角形;勾股定理.

專題： 計(jì)算題.

分析： (1)在△ABC中根據(jù)正弦的定義得到sinA= = ，則可計(jì)算出AB=10，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得到CD= AB=5;

(2)在Rt△ABC中先利用勾股定理計(jì)算出AC=6，在根據(jù)三角形面積公式得到S△BDC=S△ADC，則S△BDC= S△ABC，即 CD?BE= ? AC?BC，于是可計(jì)算出BE= ，然后在Rt△BDE中利用余弦的定義求解.

解答： 解：(1)在△ABC中，∵∠ACB=90°，

∴sinA= = ，

而BC=8，

∴AB=10，

∵D是AB中點(diǎn)，

∴CD= AB=5;

(2)在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，

∴AC= =6，

∵D是AB中點(diǎn)，

∴BD=5，S△BDC=S△ADC，

∴S△BDC= S△ABC，即 CD?BE= ? AC?BC，

∴BE= = ，

在Rt△BDE中，cos∠DBE= = = ，

即cos∠ABE的值為 .

點(diǎn)評： 本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和三角形面積公式.

19.已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2.

(1)求m的取值范圍;

(2)若x2<0，且 >﹣1，求整數(shù)m的值.

考點(diǎn)： 根的判別式;根與系數(shù)的關(guān)系.

專題： 計(jì)算題.

分析： (1)由二次項(xiàng)系數(shù)不為0，且根的判別式大于0，求出m的范圍即可;

(2)利用求根公式表示出方程的解，根據(jù)題意確定出m的范圍，找出整數(shù)m的值即可.

解答： 解：(1)由已知得：m≠0且△=(m+2)2﹣8m=(m﹣2)2>0，

則m的范圍為m≠0且m≠2;

(2)方程解得：x= ，即x=1或x= ，

∵x2<0，∴x2= <0，即m<0，

∵ >﹣1，

∴ >﹣1，即m>﹣2，

∵m≠0且m≠2，

∴﹣2<m<0，< p="">

∵m為整數(shù)，

∴m=﹣1.

點(diǎn)評： 此題考查了根的判別式，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根即為根的判別式大于0.

20.某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次，據(jù)調(diào)查顯示，每個(gè)檔次的日產(chǎn)量及相應(yīng)的單件利潤如表所示(其中x為正整數(shù)，且1≤x≤10);

質(zhì)量檔次 1 2 … x … 10

日產(chǎn)量(件) 95 90 … 100﹣5x … 50

單件利潤(萬元) 6 8 … 2x+4 … 24

為了便于調(diào)控，此工廠每天只生產(chǎn)一個(gè)檔次的產(chǎn)品，當(dāng)生產(chǎn)質(zhì)量檔次為x的產(chǎn)品時(shí)，當(dāng)天的利潤為y萬元.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)工廠為獲得利潤，應(yīng)選擇生產(chǎn)哪個(gè)檔次的產(chǎn)品?并求出當(dāng)天利潤的值.

考點(diǎn)： 二次函數(shù)的應(yīng)用.

分析： (1)根據(jù)總利潤=單件利潤×銷售量就可以得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)由(1)的解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論.

解答： 解：(1)由題意，得

y=(100﹣5x)(2x+4)，

y=﹣10x2+180x+400(1≤x≤10的整數(shù));

答：y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣10x2+180x+400;

(2)∵y=﹣10x2+180x+400，

∴y=﹣10(x﹣9)2+1210.

∵1≤x≤10的整數(shù)，

∴x=9時(shí)，y=1210.

答：工廠為獲得利潤，應(yīng)選擇生產(chǎn)9檔次的產(chǎn)品，當(dāng)天利潤的值為1210萬元.

點(diǎn)評： 本題考查了總利潤=單件利潤×銷售量的運(yùn)用，二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，頂點(diǎn)式的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.

21.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，AD與⊙O相切，射線AO交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F.點(diǎn)P在射線AO上，且∠PCB=2∠BAF.

(1)求證：直線PC是⊙O的切線;

(2)若AB= ，AD=2，求線段PC的長.

考點(diǎn)： 切線的判定;勾股定理;平行四邊形的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).

分析： (1)首先連接OC，由AD與⊙O相切，可得FA⊥AD，四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥BC，然后由垂徑定理可證得F是 的中點(diǎn)，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，繼而證得直線PC是⊙O的切線;

(2)首先由勾股定理可求得AE的長，然后設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，OE=3﹣r，則可求得半徑長，易得△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得線段PC的長.

解答： (1)證明：連接OC.

∵AD與⊙O相切于點(diǎn)A，

∴FA⊥AD.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴FA⊥BC.

∵FA經(jīng)過圓心O，

∴F是 的中點(diǎn)，BE=CE，∠OEC=90°，

∴∠COF=2∠BAF.

∵∠PCB=2∠BAF，

∴∠PCB=∠COF.

∵∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，

∴∠OCE+∠PCB=90°.

∴OC⊥PC.

∵點(diǎn)C在⊙O上，

∴直線PC是⊙O的切線.

(2)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BC=AD=2.

∴BE=CE=1.

在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB= ，

∴ .

設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，OE=3﹣r.

在Rt△OCE中，∠OEC=90°，

∴OC2=OE2+CE2.

∴r2=(3﹣r)2+1.

解得 ，

∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°.

∴△OCE∽△CPE，

∴ .

∴ .

∴ .

點(diǎn)評： 此題考查了切線的判定、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

22.閱讀下面材料：

小明觀察一個(gè)由1×1正方形點(diǎn)陣組成的點(diǎn)陣圖，圖中水平與豎直方向上任意兩個(gè)相鄰點(diǎn)間的距離都是1，他發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的問題：對于圖中出現(xiàn)的任意兩條端點(diǎn)在點(diǎn)陣上且互相不垂直的線段，都可以在點(diǎn)陣中找到一點(diǎn)構(gòu)造垂直，進(jìn)而求出它們相交所成銳角的正切值.

請回答：

(1)如圖1，A，B，C是點(diǎn)陣中的三個(gè)點(diǎn)，請?jiān)邳c(diǎn)陣中找到點(diǎn)D，作出線段CD，使得CD⊥AB;

(2)如圖2，線段AB與CD交于點(diǎn)O.為了求出∠AOD的正切值，小明在點(diǎn)陣中找到了點(diǎn)E，連接AE，恰好滿足AE⊥CD于點(diǎn)F，再作出點(diǎn)陣中的其它線段，就可以構(gòu)造相似三角形，經(jīng)過推理和計(jì)算能夠使問題得到解決.

請你幫小明計(jì)算：OC=　 　;tan∠AOD=　5　;

解決問題：

如圖3，計(jì)算：tan∠AOD=　 　.

考點(diǎn)： 相似形綜合題.

分析： (1)用三角板過C作AB的垂線，從而找到D的位置;

(2)連接AC、DB、AD、DE.由△ACO∽△DBO求得CO的長，由等腰直角三角形的性質(zhì)可以求出AF，DF的長，從而求出OF的長，在Rt△AFO中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出tan∠AOD的值;

(3)如圖，連接AE、BF，則AF= ，AB= ，由△AOE∽△BOF，可以求出AO= ，在Rt△AOF中，可以求出OF= ，故可求得tan∠AOD.

解答： 解：(1)如圖所示：

線段CD即為所求.

(2)如圖2所示連接AC、DB、AD.

∵AD=DE=2，

∴AE=2 .

∵CD⊥AE，

∴DF=AF= .

∵AC∥BD，

∴△ACO∽△DBO.

∴CO：DO=2：3.

∴CO= .

∴DO= .

∴OF= .

tan∠AOD= .

(3)如圖3所示：

根據(jù)圖形可知：BF=2，AE=5.

由勾股定理可知：AF= = ，AB= = .

∵FB∥AE，

∴△AOE∽△BOF.

∴AO：OB=AE：FB=5：2.

∴AO= .

在Rt△AOF中，OF= = .

∴tan∠AOD= .

點(diǎn)評： 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)點(diǎn)陣圖構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1，4)、B(m，n).

(1)求代數(shù)式mn的值;

(2)若二次函數(shù)y=(x﹣1)2的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，求代數(shù)式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值;

(3)若反比例函數(shù)y= 的圖象與二次函數(shù)y=a(x﹣1)2的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，且該交點(diǎn)在直線y=x的下方，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍.

考點(diǎn)： 反比例函數(shù)綜合題;代數(shù)式求值;反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題;二次函數(shù)的性質(zhì).

專題： 綜合題;數(shù)形結(jié)合;分類討論.

分析： (1)只需將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式就可解決問題;

(2)將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=(x﹣1)2得到n=m2﹣2m+1，先將代數(shù)式變形為mn(m2﹣2m+1)+2mm﹣4n，然后只需將m2﹣2m+1用n代替，即可解決問題;

(3)可先求出直線y=x與反比例函數(shù)y= 交點(diǎn)C和D的坐標(biāo)，然后分a>0和a<0兩種情況討論，先求出二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D或C時(shí)對應(yīng)的a的值，再結(jié)合圖象，利用二次函數(shù)的性質(zhì)(|a|越大，拋物線的開口越小)就可解決問題.

解答： 解：(1)∵反比例函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1，4)、B(m，n)，

∴k=mn=1×4=4，

即代數(shù)式mn的值為4;

(2)∵二次函數(shù)y=(x﹣1)2的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，

∴n=(m﹣1)2=m2﹣2m+1，

∴m3n﹣2m2n+3mn﹣4n=m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n

=mn(m2﹣2m+1)+2mm﹣4n

=4n+2×4﹣4n

=8，

即代數(shù)式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值為8;

(3)設(shè)直線y=x與反比例函數(shù)y= 交點(diǎn)分別為C、D，

解 ，得：

或 ，

∴點(diǎn)C(﹣2，﹣2)，點(diǎn)D(2，2).

①若a>0，如圖1，

當(dāng)拋物線y=a(x﹣1)2經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，

有a(2﹣1)2=2，

解得：a=2.

∵|a|越大，拋物線y=a(x﹣1)2的開口越小，

∴結(jié)合圖象可得：滿足條件的a的范圍是0<a<2;< p="">

②若a<0，如圖2，

當(dāng)拋物線y=a(x﹣1)2經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，

有a(﹣2﹣1)2=﹣2，

解得：a=﹣ .

∵|a|越大，拋物線y=a(x﹣1)2的開口越小，

∴結(jié)合圖象可得：滿足條件的a的范圍是a<﹣ .

綜上所述：滿足條件的a的范圍是0<a<2或a<﹣ p="" .

點(diǎn)評： 本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、求代數(shù)式的值、求直線與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，另外還重點(diǎn)對整體思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想進(jìn)行了考查，運(yùn)用整體思想是解決第(2)小題的關(guān)鍵，考慮臨界位置并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想是解決第(3)小題的關(guān)鍵.

24.如圖1，在△ABC中，BC=4，以線段AB為邊作△ABD，使得AD=BD，連接DC，再以DC為邊作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α.

(1)如圖2，當(dāng)∠ABC=45°且α=90°時(shí)，用等式表示線段AD，DE之間的數(shù)量關(guān)系;

(2)將線段CB沿著射線CE的方向平移，得到線段EF，連接BF，AF.

①若α=90°，依題意補(bǔ)全圖3，求線段AF的長;

②請直接寫出線段AF的長(用含α的式子表示).

考點(diǎn)： 幾何變換綜合題.

分析： (1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出即可;

(2)①設(shè)DE與BC相交于點(diǎn)H，連接 AE，交BC于點(diǎn)G，根據(jù)SAS推出△ADE≌△BDC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE=BC，∠AED=∠BCD.求出∠AFE=45°，解直角三角形求出即可;

②過E作EM⊥AF于M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠AEM=∠FME= ，AM=FM，解直角三角形求出FM即可.

解答： 解：(1)AD+DE=4，

理由是：如圖1，

∵∠ADB=∠EDC=∠α=90°，AD=BD，DC=DE，

∴AD+DE=BC=4;

(2)①補(bǔ)全圖形，如圖2，

設(shè)DE與BC相交于點(diǎn)H，連接AE，

交BC于點(diǎn)G，

∵∠ADB=∠CDE=90°，

∴∠ADE=∠BDC，

在△ADE與△BDC中，

，

∴△ADE≌△BDC，

∴AE=BC，∠AED=∠BCD.

∵DE與BC相交于點(diǎn)H，

∴∠GHE=∠DHC，

∴∠EGH=∠EDC=90°，

∵線段CB沿著射線CE的方向平移，得到線段EF，

∴EF=CB=4，EF∥CB，

∴AE=EF，

∵CB∥EF，

∴∠AEF=∠EGH=90°，

∵AE=EF，∠AEF=90°，

∴∠AFE=45°，

∴AF= =4 ;

②如圖2，過E作EM⊥AF于M，

∵由①知：AE=EF=BC，

∴∠AEM=∠FME= ，AM=FM，

∴AF=2FM=EF×sin =8sin .

點(diǎn)評： 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大.

25.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)是圖形W上的任意兩點(diǎn).

定義圖形W的測度面積：若|x1﹣x2|的值為m，|y1﹣y2|的值為n，則S=mn為圖形W的測度面積.

例如，若圖形W是半徑為1的⊙O，當(dāng)P，Q分別是⊙O與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如圖1，|x1﹣x2|取得值，且值m=2;當(dāng)P，Q分別是⊙O與y軸的交點(diǎn)時(shí)，如圖2，|y1﹣y2|取得值，且值n=2.則圖形W的測度面積S=mn=4

(1)若圖形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1.

①如圖3，當(dāng)點(diǎn)A，B在坐標(biāo)軸上時(shí)，它的測度面積S=　1　;

②如圖4，當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，它的測度面積S=　1　;

(2)若圖形W是一個(gè)邊長1的正方形ABCD，則此圖形的測度面積S的值為　2　;

(3)若圖形W是一個(gè)邊長分別為3和4的矩形ABCD，求它的測度面積S的取值范圍.

考點(diǎn)： 圓的綜合題.

分析： (1)由測度面積的定義利用它的測度面積S=|OA|?|OB|求解即可;

②利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出AC，AB，利用測度面積S=|AB|?|OC|求解即可;

(2)先確定正方形有測度面積S時(shí)的圖形，即可利用測度面積S=|AC|?|BD|求解.

(3)分兩種情況當(dāng)A，B或B，C都在x軸上時(shí)，當(dāng)頂點(diǎn)A，C都不在x軸上時(shí)分別求解即可.

解答： 解：(1)①如圖3，

∵OA=OB=1，點(diǎn)A，B在坐標(biāo)軸上，

∴它的測度面積S=|OA|?|OB|=1，

故答案為：1.

②如圖4，

∵AB⊥x軸，OA=OB=1.

∴AB= ，OC= ，

∴它的測度面積S=|AB|?|OC|= × =1，

故答案為：1.

(2)如圖5，圖形的測度面積S的值，

∵四邊形ABCD是邊長為1的正方形.

∴它的測度面積S=|AC|?|BD|= × =2，

故答案為：2.

(3)設(shè)矩形ABCD的邊AB=4，BC=3，由已知可得，平移圖形W不會改變其測度面積的大小，將矩形ABCD的其中一個(gè)頂點(diǎn)B平移至x軸上，

當(dāng)A，B或B，C都在x軸上時(shí)，

如圖6，圖7，

矩形ABCD的測度面積S就是矩形ABCD的面積，此時(shí)S=12.

當(dāng)頂點(diǎn)A，C都不在x軸上時(shí)，如圖8，過點(diǎn)A作直線AH⊥x軸于點(diǎn)E，過C點(diǎn)作CF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作直線GH∥x軸，分別交AE，CF于點(diǎn)H，G，則可得四邊形EFGH是矩形，

當(dāng)點(diǎn)P，Q與點(diǎn)A，C重合時(shí)，|x1﹣x2|的值為m=EF，|y1﹣y2|的值為n=GF.

圖形W的測度面積S=EF?GF，

∵∠ABC+∠CBF=90°，∠ABC+∠BAE=90°，

∴∠CBF=∠BAE，

∵∠AEB=∠BFC=90°，

∴△AEB∽△BFC，

∴ = = = ，

設(shè)AE=4a，EB=4b，(a>0，b>0)，則BF=3a，F(xiàn)C=3b，

在RT△AEB中，AE2+BE2=AB2，

∴16a2+16b2=16，即a2+b2=1，

∵b>0，

∴b= ，

在△ABE和△CDG中，

∴△ABE≌△CDG(AAS)

∴CG=AE=4a，

∴EF=EB+BF=4b+3a，GF=FC+CG=3b+4a，

∴圖形W的測度面積S=EF?GF=(4b+3a)(3b+4a)=12a2+12b2+25a =12+25 =12+25 ，

當(dāng)a2= 時(shí)，即a= 時(shí)，測度面積S取得值12+25× = ，

∵a>0，b>0，

∴ >0，

∴S>12，

綜上所述：測度面積S的取值范圍為12≤S≤ .

點(diǎn)評： 本題主要考查了閱讀材料題，涉及新定義，三角形相似，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理及矩形，正方形等知識，解題的關(guān)鍵是正確的確定矩形|x1﹣x2|的值，|y1﹣y2|的值.